静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
水力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
连续性和伯努利
- 连续性
- A1v1 = A2v2
- 伯努利方程
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 圆面积
- A = πd²/4
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
明渠流（曼宁公式）
- 曼宁公式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 水力半径
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 矩形
- A = b·y, P = b + 2y
- 梯形（边坡 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 圆管，满流或半满流
- R = D/4
- 所需坡度
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2练习题
1.静水压力中等
一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 2 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。
d = 4 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.连续性和伯努利中等
水流经一根水平管道，管径从 150 mm 缩小到 100 mm。宽段压强为 390 kPa，流速为 2.75 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p2。
d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 = 390 kPav1 = 2.75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.连续性和伯努利困难
一个水平文丘里流量计（入口 200 mm，喉部 100 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 50 mm。流量系数为 0.97。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。
d1 = 200 mmd2 = 100 mmΔh = 50 mmCd = 0.97ρHg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.管道摩擦与水头损失中等
水以 2 L/s 的流量流过一根长 150 m、内径 50 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.02，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。
Q = 2 L/sL = 150 mD = 50 mmf = 0.02g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管道摩擦与水头损失困难
两个敞口水池由一根长 400 m、内径 250 mm、达西摩擦系数 f = 0.015 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 14 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。
Δz = 14 mL = 400 mD = 250 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Q = L/s
7.水泵与泵功率中等
在一次试验中，水泵以 28 m 的扬程输送 30 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 11.4 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。
Q = 30 L/sH = 28 mPshaft = 11.4 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.水泵与泵功率困难
一台水泵把 75 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 11 m 的上游水箱。管道长 600 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.022；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 水泵效率为 82%。求轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 75 L/sΔz = 11 mL = 600 mD = 250 mmf = 0.022ΣK = 8η = 82%
Pshaft = kW
9.明渠流（曼宁公式）中等
一根内径 300 mm 的混凝土雨水管刚好满流（作为明渠，不承压）。 曼宁 n = 0.013，坡度 S = 0.005。求流量 Q，以 m³/s 计。
D = 300 mmn = 0.013S = 0.005
Q = m³/s
10.明渠流（曼宁公式）困难
一条宽 3.5 m 的矩形砾石渠道 须以 2.1 m 的水深均匀输送 6.4 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.025。求所需底坡 S（以 m/m 计）。
Q = 6.4 m³/sb = 3.5 my = 2.1 mn = 0.025
S = m/m
3溶液
1.静水压力
答案: F = 88.29 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m
A = H·b = 2·1.5 = 3 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3·3 = 88.29 kN
答案
F = 88.29 kN
2.静水压力
答案: ycp = 4.789 m
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m
A = H·b = 1.5·2 = 3 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·4.75·3 = 123 kN
压力中心
压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。
Ic = b·H³/12 = 2·1.5³/12 = 0.5625 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4.75 + 0.5625/(4.75·3) = 4.789 m
答案
ycp = 4.789 m
3.连续性和伯努利
答案: p2 = 374.6 kPa
连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。
连续性和伯努利
用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。
v2 = v1·(d1/d2)² = 2.75·(150/100)² = 6.188 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.75² − 6.188²)/1000 = −15.36 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 390 + (−15.36) = 374.6 kPa
答案
p2 = 374.6 kPa
4.连续性和伯努利
答案: Q = 27.66 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
由压差计求压强差
Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.05 = 6180 Pa
喉部流速
连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。
β = 100/200 = 0.5
v2 = √(2·6180/(1000·(1 − 0.0625))) = 3.631 m/s
实际流量
Q = Cd·A2·v2 = 0.97·0.007854·3.631 = 0.02766 m³/s = 27.66 L/s
答案
Q = 27.66 L/s
5.管道摩擦与水头损失
答案: hf = 3.173 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
平均流速
A = π·0.05²/4 = 0.001963 m²
V = Q/A = 0.002/0.001963 = 1.019 m/s
速度水头
V²/(2g) = 1.019²/(2·9.81) = 0.05288 m
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(150/0.05)·1.019²/(2·9.81) = 3.173 m
答案
hf = 3.173 m
6.管道摩擦与水头损失
答案: Q = 153.5 L/s
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
损失系数
f·L/D = 0.015·400/0.25 = 24
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 2 + 1.0 = 4.1
能量方程
两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。
14 = (24 + 4.1)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·14/28.1) = 3.127 m/s
流量
Q = V·π·D²/4 = 3.127·0.04909 = 0.1535 m³/s = 153.5 L/s
答案
Q = 153.5 L/s
7.水泵与泵功率
答案: η = 72.28 %
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·28 = 8.24 kW
效率
η = Ph/Pshaft = 8.24/11.4 = 72.28%
答案
η = 72.28%
8.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 16.36 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.075/0.04909 = 1.528 m/s
V²/(2g) = 0.119 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (52.8 + 8)·0.119 = 7.234 m
泵扬程
H = Δz + hL = 11 + 7.234 = 18.23 m
轴功率
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.075·18.23/0.82 = 16.36 kW
答案
Pshaft = 16.36 kW
9.明渠流（曼宁公式）
答案: Q = 0.06838 m³/s
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = 0.07069 m², R = D/4 = 0.075 m
速度
V = (1/0.013)·0.0752/3·0.0051/2 = 0.9673 m/s
流量
Q = A·V = 0.07069·0.9673 = 0.06838 m³/s
答案
Q = 0.06838 m³/s
10.明渠流（曼宁公式）
答案: S = 0.0005042 m/m
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = b·y = 3.5·2.1 = 7.35 m²
P = b + 2y = 3.5 + 2·2.1 = 7.7 m
R = A/P = 0.9545 m
由曼宁公式解 S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.025·6.4/(7.35·0.9695) = 0.02245
S = 0.02245² = 0.0005042
答案
S = 0.0005042
即每千米下降 0.5042 m。
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