水力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 4 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.连续性和伯努利中等

水以 18 L/s 流过一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 50 mm。窄段的压强为 60 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p₁。

Q = 18 L/sd₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₂ = 60 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 100 mm 缩小到 50 mm，同时升高 3 m。截面 1 处压强为 400 kPa，流速为 0.5 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 400 kPav₁ = 0.5 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 2.2 m/s 的速度流过一根长 800 m、内径 75 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.02，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 2.2 m/sL = 800 mD = 75 mmf = 0.02ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.管道摩擦与水头损失困难

一根长 200 m、内径 250 mm（达西摩擦系数 f = 0.025）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 2）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 80 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 80 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0.025K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 2

H = m

7.水泵与泵功率中等

在一次试验中，水泵以 76 m 的扬程输送 30 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 27.3 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 30 L/sH = 76 mP_shaft = 27.3 kWg = 9.81 m/s²

η = %

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 13 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 50 L/sΔz = 13 mL = 150 mD = 150 mmf = 0.018ΣK = 5

H = m

9.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形砖砌渠道底宽 5.5 m，边坡 2:1（水平:竖直）。水以 0.6 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.015，底坡 S = 0.003。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 5.5 my = 0.6 mz = 2n = 0.015S = 0.003

Q = m³/s

10.明渠流（曼宁公式）困难

一根内径 450 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 1 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。

D = 450 mmn = 0.013V = 1 m/s

S = m/m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 88.29 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·3 = 88.29 kN

答案

F = 88.29 kN

2.静水压力

答案: y_cp = 4.519 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·4.5·1.5 = 58.27 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1.5·1³/12 = 0.125 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4.5 + 0.125/(4.5·1.5) = 4.519 m

答案

y_cp = 4.519 m

3.连续性和伯努利

答案: p₁ = 99.39 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.018/0.007854 = 2.292 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.018/0.001963 = 9.167 m/s

伯努利方程

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 60 + ½·1000·(9.167² − 2.292²)/1000 = 60 + 39.39 = 99.39 kPa

答案

p₁ = 99.39 kPa

4.连续性和伯努利

答案: p₂ = 368.7 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(100/50)² = 2 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 2²)/1000 = −1.875 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·3/1000 = 29.43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 400 + (−1.875) − 29.43 = 368.7 kPa

答案

p₂ = 368.7 kPa

5.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 516.3 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(800/0.075)·2.2²/(2·9.81) = 52.63 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·52.63 = 516267 Pa = 516.3 kPa

答案

Δp = 516.3 kPa

6.管道摩擦与水头损失

答案: H = 3.344 m

速度

V = Q/A = 0.08/0.04909 = 1.63 m/s

V²/(2g) = 0.1354 m

损失系数

f·L/D = 0.025·200/0.25 = 20

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 = 3.7

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 20 + 3.7)·0.1354 = 3.344 m

答案

H = 3.344 m

7.水泵与泵功率

答案: η = 81.93 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·76 = 22.37 kW

效率

η = P_h/P_shaft = 22.37/27.3 = 81.93%

答案

η = 81.93%

8.水泵与泵功率

答案: H = 22.38 m

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 5)·0.408 = 9.385 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + h_L = 13 + 9.385 = 22.38 m

答案

H = 22.38 m

9.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 9.139 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (5.5 + 2·0.6)·0.6 = 4.02 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5.5 + 2·0.6·√(1 + 2²) = 8.183 m

R = A/P = 0.4912 m

速度

V = (1/0.015)·0.4912^2/3·0.003^1/2 = 2.273 m/s

流量

Q = A·V = 4.02·2.273 = 9.139 m³/s

答案

Q = 9.139 m³/s

10.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.003112 m/m

水力半径

R = D/4 = 0.45/4 = 0.1125 m

由曼宁公式解 S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·1/0.233)² = 0.003112

答案

S = 0.003112

即每千米下降 3.112 m。

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