水力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

3.连续性和伯努利中等

风洞中的皮托静压管测得总压与静压之差为 1450 Pa。空气密度为 1.2 kg/m³。求风速 v。

p₀ − p = 1450 Paρ = 1.2 kg/m³

v = m/s

4.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 100 mm 缩小到 50 mm，同时升高 4 m。截面 1 处压强为 380 kPa，流速为 1.75 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 380 kPav₁ = 1.75 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.管道摩擦与水头损失中等

水以 20 L/s 的流量流过一根长 150 m、内径 200 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.028，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

Q = 20 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0.028g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 100 m、内径 200 mm、达西摩擦系数 f = 0.015 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 21 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 5）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。

Δz = 21 mL = 100 mD = 200 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1.0

Q = L/s

7.水泵与泵功率中等

在一次试验中，水泵以 22 m 的扬程输送 30 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 7.6 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 30 L/sH = 22 mP_shaft = 7.6 kWg = 9.81 m/s²

η = %

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 30 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.02；局部损失系数之和为 ΣK = 6（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 75%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 80 L/sΔz = 30 mL = 100 mD = 200 mmf = 0.02ΣK = 6η = 75%

P_shaft = kW

9.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形砖砌渠道底宽 5 m，边坡 1:1（水平:竖直）。水以 1.2 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.015，底坡 S = 0.003。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 5 my = 1.2 mz = 1n = 0.015S = 0.003

Q = m³/s

10.明渠流（曼宁公式）困难

一条宽 3.5 m 的矩形植草土渠渠道须以 1.7 m 的水深均匀输送 4 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.03。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 4 m³/sb = 3.5 my = 1.7 mn = 0.03

S = m/m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 128.8 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.75·7.5 = 128.8 kN

答案

F = 128.8 kN

2.静水压力

答案: F = 132 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 2.5/2 = 5.25 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·5.25·2.5 = 132 kN

答案

F = 132 kN

3.连续性和伯努利

答案: v = 49.16 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

到驻点的伯努利方程

流体在测头处静止，所以其动能表现为额外的压强。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·1450/1.2) = 49.16 m/s

答案

v = 49.16 m/s

4.连续性和伯努利

答案: p₂ = 317.8 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.75·(100/50)² = 7 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.75² − 7²)/1000 = −22.97 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·4/1000 = 39.24 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 380 + (−22.97) − 39.24 = 317.8 kPa

答案

p₂ = 317.8 kPa

5.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 0.4338 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.2²/4 = 0.03142 m²

V = Q/A = 0.02/0.03142 = 0.6366 m/s

速度水头

V²/(2g) = 0.6366²/(2·9.81) = 0.02066 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(150/0.2)·0.6366²/(2·9.81) = 0.4338 m

答案

h_f = 0.4338 m

6.管道摩擦与水头损失

答案: Q = 165.2 L/s

损失系数

f·L/D = 0.015·100/0.2 = 7.5

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 + 1.0 = 7.4

能量方程

两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。

21 = (7.5 + 7.4)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·21/14.9) = 5.259 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 5.259·0.03142 = 0.1652 m³/s = 165.2 L/s

答案

Q = 165.2 L/s

7.水泵与泵功率

答案: η = 85.19 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·22 = 6.475 kW

效率

η = P_h/P_shaft = 6.475/7.6 = 85.19%

答案

η = 85.19%

8.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 36.93 kW

速度

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10 + 6)·0.3305 = 5.288 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 30 + 5.288 = 35.29 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.08·35.29/0.75 = 36.93 kW

答案

P_shaft = 36.93 kW

9.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 25.07 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (5 + 1·1.2)·1.2 = 7.44 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·1.2·√(1 + 1²) = 8.394 m

R = A/P = 0.8863 m

速度

V = (1/0.015)·0.8863^2/3·0.003^1/2 = 3.369 m/s

流量

Q = A·V = 7.44·3.369 = 25.07 m³/s

答案

Q = 25.07 m³/s

10.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.0004956 m/m

几何参数

A = b·y = 3.5·1.7 = 5.95 m²

P = b + 2y = 3.5 + 2·1.7 = 6.9 m

R = A/P = 0.8623 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.03·4/(5.95·0.906) = 0.02226

S = 0.02226² = 0.0004956

答案

S = 0.0004956

即每千米下降 0.4956 m。

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