静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
水力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
连续性和伯努利
- 连续性
- A1v1 = A2v2
- 伯努利方程
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 圆面积
- A = πd²/4
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
明渠流（曼宁公式）
- 曼宁公式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 水力半径
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 矩形
- A = b·y, P = b + 2y
- 梯形（边坡 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 圆管，满流或半满流
- R = D/4
- 所需坡度
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2练习题
1.静水压力中等
一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 4 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 1 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.连续性和伯努利中等
风洞中的皮托静压管测得总压与静压之差为 150 Pa。空气密度为 1.2 kg/m³。求风速 v。
p0 − p = 150 Paρ = 1.2 kg/m³
v = m/s
4.连续性和伯努利困难
一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 40 kPa。水从水面以下 4.5 m 处直径 40 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求 流量 Q。 取 g = 9.81 m/s²。
pair = 40 kPa (表压)h = 4.5 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.管道摩擦与水头损失中等
水以 200 L/s 的流量流过一根长 50 m、内径 300 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.025，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。
Q = 200 L/sL = 50 mD = 300 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管道摩擦与水头损失困难
一根长 100 m、内径 100 mm（达西摩擦系数 f = 0.018）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 2）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 15 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？
Q = 15 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0.018Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 2
H = m
7.水泵与泵功率中等
在一次试验中，水泵以 32 m 的扬程输送 10 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 4.2 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。
Q = 10 L/sH = 32 mPshaft = 4.2 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.水泵与泵功率困难
一台水泵把 100 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 6 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.022；局部损失系数之和为 ΣK = 3（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 求水泵须提供的扬程 H。
Q = 100 L/sΔz = 6 mL = 100 mD = 250 mmf = 0.022ΣK = 3
H = m
9.明渠流（曼宁公式）中等
一条矩形清洁土渠渠道宽 6 m。水以 1.8 m 的水深作均匀流。 曼宁 n = 0.022，底坡 S = 0.003。求流量 Q，以 m³/s 计。
b = 6 my = 1.8 mn = 0.022S = 0.003
Q = m³/s
10.明渠流（曼宁公式）困难
一根内径 300 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 1.2 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。
D = 300 mmn = 0.013V = 1.2 m/s
S = m/m
3溶液
1.静水压力
答案: F = 485.6 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·5.5·9 = 485.6 kN
答案
F = 485.6 kN
2.静水压力
答案: F = 33.99 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 1 + 1.5/2 = 1.75 m
A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·1.75·2.25 = 33.99 kN
答案
F = 33.99 kN
3.连续性和伯努利
答案: v = 15.81 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
到驻点的伯努利方程
流体在测头处静止，所以其动能表现为额外的压强。
p0 − p = ½ρv²
v = √(2·150/1.2) = 15.81 m/s
答案
v = 15.81 m/s
4.连续性和伯努利
答案: Q = 16.3 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
从液面到射流的伯努利方程
v = √(2·(40000/1000 + 9.81·4.5)) = 12.97 m/s
流量
Q = A·v = 0.001257·12.97 = 0.0163 m³/s = 16.3 L/s
答案
Q = 16.3 L/s
5.管道摩擦与水头损失
答案: hf = 1.7 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
平均流速
A = π·0.3²/4 = 0.07069 m²
V = Q/A = 0.2/0.07069 = 2.829 m/s
速度水头
V²/(2g) = 2.829²/(2·9.81) = 0.408 m
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(50/0.3)·2.829²/(2·9.81) = 1.7 m
答案
hf = 1.7 m
6.管道摩擦与水头损失
答案: H = 4.164 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度
V = Q/A = 0.015/0.007854 = 1.91 m/s
V²/(2g) = 0.1859 m
损失系数
f·L/D = 0.018·100/0.1 = 18
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 = 3.4
能量方程
出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。
H = (1 + 18 + 3.4)·0.1859 = 4.164 m
答案
H = 4.164 m
7.水泵与泵功率
答案: η = 74.74 %
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·32 = 3.139 kW
效率
η = Ph/Pshaft = 3.139/4.2 = 74.74%
答案
η = 74.74%
8.水泵与泵功率
答案: H = 8.496 m
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s
V²/(2g) = 0.2115 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (8.8 + 3)·0.2115 = 2.496 m
泵扬程
两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。
H = Δz + hL = 6 + 2.496 = 8.496 m
答案
H = 8.496 m
9.明渠流（曼宁公式）
答案: Q = 29.08 m³/s
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = b·y = 6·1.8 = 10.8 m²
P = b + 2y = 6 + 2·1.8 = 9.6 m
R = A/P = 1.125 m
速度
V = (1/0.022)·1.1252/3·0.0031/2 = 2.693 m/s
流量
Q = A·V = 10.8·2.693 = 29.08 m³/s
答案
Q = 29.08 m³/s
10.明渠流（曼宁公式）
答案: S = 0.007694 m/m
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
水力半径
R = D/4 = 0.3/4 = 0.075 m
由曼宁公式解 S
S = (n·V/R2/3)² = (0.013·1.2/0.1778)² = 0.007694
答案
S = 0.007694
即每千米下降 7.694 m。
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