水力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

3.连续性和伯努利中等

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 300 mm，喉部直径 150 mm。入口处的压强比喉部高 9 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d₁ = 300 mmd₂ = 150 mmp₁ − p₂ = 9 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.连续性和伯努利困难

一根内径 32 mm 的软管从敞口水箱中虹吸取水。软管的最高点 C 高出水面 3 m，出口（通大气）低于水面 2.5 m。忽略损失，取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q。

d = 32 mmz_C = +3 mz₂ = −2.5 mg = 9.81 m/s²

Q = L/s

5.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 1.9 m/s 的速度流过一根长 500 m、内径 200 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.028，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 1.9 m/sL = 500 mD = 200 mmf = 0.028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.管道摩擦与水头损失困难

一根长 150 m、内径 250 mm（达西摩擦系数 f = 0.025）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 0.2）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 120 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 120 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0.025K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 0.2

H = m

7.水泵与泵功率中等

一台效率为 85% 的水泵以 10 m 的扬程输送 150 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 150 L/sH = 10 mη = 85%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 5 m 的上游水箱。管道长 400 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.022；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 75%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 80 L/sΔz = 5 mL = 400 mD = 200 mmf = 0.022ΣK = 5η = 75%

P_shaft = kW

9.明渠流（曼宁公式）中等

一条矩形砾石渠道宽 4.5 m。水以 0.7 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.025，底坡 S = 0.004。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 4.5 my = 0.7 mn = 0.025S = 0.004

Q = m³/s

10.明渠流（曼宁公式）困难

一条底宽 6 m、边坡 3:1（水平:竖直）的梯形未抹面混凝土渠道须以 2.2 m 的水深均匀输送 55 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.014。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 55 m³/sb = 6 my = 2.2 mz = 3n = 0.014

S = m/m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 139.8 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.75·3 = 139.8 kN

答案

F = 139.8 kN

2.静水压力

答案: F = 181 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·4·4.5 = 181 kN

答案

F = 181 kN

3.连续性和伯努利

答案: Q = 77.43 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v₁ = v₂·(150/300)² = 0.25·v₂

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·9000/(1000·(1 − 0.0625))) = 4.382 m/s

v₁ = 1.095 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.01767·4.382 = 0.07743 m³/s = 77.43 L/s

答案

Q = 77.43 L/s

4.连续性和伯努利

答案: Q = 5.633 L/s

软管中的流速

液面和出口都通大气，所以压强项相互抵消。

v = √(2g·2.5) = √(2·9.81·2.5) = 7.004 m/s

流量

Q = A·v = 0.0008042·7.004 = 0.005633 m³/s = 5.633 L/s

答案

Q = 5.633 L/s

5.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 126.3 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(500/0.2)·1.9²/(2·9.81) = 12.88 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·12.88 = 126350 Pa = 126.3 kPa

答案

Δp = 126.3 kPa

6.管道摩擦与水头损失

答案: H = 5.452 m

速度

V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s

V²/(2g) = 0.3046 m

损失系数

f·L/D = 0.025·150/0.25 = 15

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 0.2 = 1.9

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 15 + 1.9)·0.3046 = 5.452 m

答案

H = 5.452 m

7.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 17.31 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·10 = 14.71 kW

轴功率

P_shaft = P_h/η = 14.71/0.85 = 17.31 kW

答案

P_shaft = 17.31 kW

8.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 22.18 kW

速度

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (44 + 5)·0.3305 = 16.19 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 5 + 16.19 = 21.19 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.08·21.19/0.75 = 22.18 kW

答案

P_shaft = 22.18 kW

9.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 5.245 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = b·y = 4.5·0.7 = 3.15 m²

P = b + 2y = 4.5 + 2·0.7 = 5.9 m

R = A/P = 0.5339 m

速度

V = (1/0.025)·0.5339^2/3·0.004^1/2 = 1.665 m/s

流量

Q = A·V = 3.15·1.665 = 5.245 m³/s

答案

Q = 5.245 m³/s

10.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.0004965 m/m

几何参数

A = (b + z·y)·y = (6 + 3·2.2)·2.2 = 27.72 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·2.2·√(1 + 3²) = 19.91 m

R = A/P = 1.392 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.014·55/(27.72·1.247) = 0.02228

S = 0.02228² = 0.0004965

答案

S = 0.0004965

即每千米下降 0.4965 m。

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