水力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 150 mm 缩小到 75 mm。宽段压强为 350 kPa，流速为 1 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 350 kPav₁ = 1 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.连续性和伯努利困难

一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 30 kPa。水从水面以下 3.5 m 处直径 20 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

p_air = 30 kPa (表压)h = 3.5 md = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

5.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 2.1 m/s 的速度流过一根长 100 m、内径 200 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.015，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 2.1 m/sL = 100 mD = 200 mmf = 0.015ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 100 m、内径 150 mm、达西摩擦系数 f = 0.02 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 26 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。

Δz = 26 mL = 100 mD = 150 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 10K_exit = 1.0

Q = L/s

7.水泵与泵功率中等

一台效率为 72% 的水泵以 48 m 的扬程输送 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 80 L/sH = 48 mη = 72%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 30 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 6（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 65%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 50 L/sΔz = 30 mL = 150 mD = 150 mmf = 0.018ΣK = 6η = 65%

P_shaft = kW

9.明渠流（曼宁公式）中等

一根内径 450 mm 的混凝土雨水管半满流。曼宁 n = 0.013，坡度 S = 0.003。求流量 Q，以 m³/s 计。

D = 450 mmn = 0.013S = 0.003

Q = m³/s

10.明渠流（曼宁公式）困难

一条底宽 3.5 m、边坡 1:1（水平:竖直）的梯形植草土渠渠道须以 0.5 m 的水深均匀输送 1.6 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.03。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 1.6 m³/sb = 3.5 my = 0.5 mz = 1n = 0.03

S = m/m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 165.5 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·7.5 = 165.5 kN

答案

F = 165.5 kN

2.静水压力

答案: y_cp = 2.333 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·2.25·4.5 = 101.8 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 3·1.5³/12 = 0.8438 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.25 + 0.8438/(2.25·4.5) = 2.333 m

答案

y_cp = 2.333 m

3.连续性和伯努利

答案: p₂ = 342.5 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(150/75)² = 4 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 4²)/1000 = −7.5 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 350 + (−7.5) = 342.5 kPa

答案

p₂ = 342.5 kPa

4.连续性和伯努利

答案: Q = 3.564 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

从液面到射流的伯努利方程

v = √(2·(30000/1000 + 9.81·3.5)) = 11.34 m/s

流量

Q = A·v = 0.0003142·11.34 = 0.003564 m³/s = 3.564 L/s

答案

Q = 3.564 L/s

5.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 16.54 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(100/0.2)·2.1²/(2·9.81) = 1.686 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·1.686 = 16538 Pa = 16.54 kPa

答案

Δp = 16.54 kPa

6.管道摩擦与水头损失

答案: Q = 78.22 L/s

损失系数

f·L/D = 0.02·100/0.15 = 13.33

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 10 + 1.0 = 12.7

能量方程

两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。

26 = (13.33 + 12.7)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·26/26.03) = 4.427 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 4.427·0.01767 = 0.07822 m³/s = 78.22 L/s

答案

Q = 78.22 L/s

7.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 52.32 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.08·48 = 37.67 kW

轴功率

P_shaft = P_h/η = 37.67/0.72 = 52.32 kW

答案

P_shaft = 52.32 kW

8.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 30.03 kW

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 6)·0.408 = 9.793 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 30 + 9.793 = 39.79 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.05·39.79/0.65 = 30.03 kW

答案

P_shaft = 30.03 kW

9.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 0.07808 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = 0.07952 m², R = D/4 = 0.1125 m

速度

V = (1/0.013)·0.1125^2/3·0.003^1/2 = 0.9819 m/s

流量

Q = A·V = 0.07952·0.9819 = 0.07808 m³/s

答案

Q = 0.07808 m³/s

10.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.00191 m/m

几何参数

A = (b + z·y)·y = (3.5 + 1·0.5)·0.5 = 2 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3.5 + 2·0.5·√(1 + 1²) = 4.914 m

R = A/P = 0.407 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.03·1.6/(2·0.5492) = 0.0437

S = 0.0437² = 0.00191

答案

S = 0.00191

即每千米下降 1.91 m。

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