水力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 3 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

3.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 50 mm。宽段压强为 370 kPa，流速为 2.5 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 370 kPav₁ = 2.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 75 mm 缩小到 50 mm，同时升高 4 m。截面 1 处压强为 270 kPa，流速为 2 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 270 kPav₁ = 2 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 2.3 m/s 的速度流过一根长 400 m、内径 250 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.028，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 2.3 m/sL = 400 mD = 250 mmf = 0.028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 300 m、内径 200 mm、达西摩擦系数 f = 0.018 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 100 L/s？

Q = 100 L/sL = 300 mD = 200 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 10K_exit = 1.0

Δz = m

7.水泵与泵功率中等

在一次试验中，水泵以 38 m 的扬程输送 60 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 31.1 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 60 L/sH = 38 mP_shaft = 31.1 kWg = 9.81 m/s²

η = %

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 60 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 21 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.025；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 60 L/sΔz = 21 mL = 100 mD = 200 mmf = 0.025ΣK = 8

H = m

9.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形抹面混凝土渠道底宽 4.5 m，边坡 2:1（水平:竖直）。水以 1.2 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.012，底坡 S = 0.0005。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 4.5 my = 1.2 mz = 2n = 0.012S = 0.0005

Q = m³/s

10.明渠流（曼宁公式）困难

一条底宽 3 m、边坡 1:1（水平:竖直）的梯形砾石渠道须以 1.4 m 的水深均匀输送 7.2 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.025。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 7.2 m³/sb = 3 my = 1.4 mz = 1n = 0.025

S = m/m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 353.2 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4·9 = 353.2 kN

答案

F = 353.2 kN

2.静水压力

答案: F = 203.9 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·5.5·3 = 203.9 kN

答案

F = 203.9 kN

3.连续性和伯努利

答案: p₂ = 323.1 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.5·(100/50)² = 10 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.5² − 10²)/1000 = −46.88 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 370 + (−46.88) = 323.1 kPa

答案

p₂ = 323.1 kPa

4.连续性和伯努利

答案: p₂ = 222.6 kPa

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(75/50)² = 4.5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 4.5²)/1000 = −8.125 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·4/1000 = 39.24 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 270 + (−8.125) − 39.24 = 222.6 kPa

答案

p₂ = 222.6 kPa

5.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 118.5 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(400/0.25)·2.3²/(2·9.81) = 12.08 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·12.08 = 118496 Pa = 118.5 kPa

答案

Δp = 118.5 kPa

6.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 20.5 m

速度

V = Q/A = 0.1/0.03142 = 3.183 m/s

V²/(2g) = 0.5164 m

损失系数

f·L/D = 0.018·300/0.2 = 27

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 10 + 1.0 = 12.7

总水头损失

h_f = 27·0.5164 = 13.94 m

h_m = 12.7·0.5164 = 6.559 m

Δz = h_f + h_m = 20.5 m

答案

Δz = 20.5 m

7.水泵与泵功率

答案: η = 71.92 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.06·38 = 22.37 kW

效率

η = P_h/P_shaft = 22.37/31.1 = 71.92%

答案

η = 71.92%

8.水泵与泵功率

答案: H = 24.81 m

速度

V = Q/A = 0.06/0.03142 = 1.91 m/s

V²/(2g) = 0.1859 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12.5 + 8)·0.1859 = 3.811 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + h_L = 21 + 3.811 = 24.81 m

答案

H = 24.81 m

9.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 13.73 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (4.5 + 2·1.2)·1.2 = 8.28 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4.5 + 2·1.2·√(1 + 2²) = 9.867 m

R = A/P = 0.8392 m

速度

V = (1/0.012)·0.8392^2/3·0.0005^1/2 = 1.658 m/s

流量

Q = A·V = 8.28·1.658 = 13.73 m³/s

答案

Q = 13.73 m³/s

10.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.001005 m/m

几何参数

A = (b + z·y)·y = (3 + 1·1.4)·1.4 = 6.16 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·1.4·√(1 + 1²) = 6.96 m

R = A/P = 0.8851 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.025·7.2/(6.16·0.9218) = 0.0317

S = 0.0317² = 0.001005

答案

S = 0.001005

即每千米下降 1.005 m。

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