水力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

3.连续性和伯努利中等

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 300 mm，喉部直径 150 mm。入口处的压强比喉部高 11 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d₁ = 300 mmd₂ = 150 mmp₁ − p₂ = 11 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.连续性和伯努利困难

一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 120 kPa。水从水面以下 3 m 处直径 30 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

p_air = 120 kPa (表压)h = 3 md = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

5.管道摩擦与水头损失中等

水以 15 L/s 的流量流过一根长 400 m、内径 100 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.015，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

Q = 15 L/sL = 400 mD = 100 mmf = 0.015g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 200 m、内径 300 mm、达西摩擦系数 f = 0.022 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 80 L/s？

Q = 80 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0.022K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1.0

Δz = m

7.水泵与泵功率中等

一台效率为 72% 的水泵以 70 m 的扬程输送 30 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 30 L/sH = 70 mη = 72%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 20 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 13 m 的上游水箱。管道长 300 m，内径 100 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 6（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 100 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 20 L/sΔz = 13 mL = 300 mD = 100 mmf = 0.015ΣK = 6p_tank = 100 kPa

H = m

9.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形抹面混凝土渠道底宽 1.5 m，边坡 3:1（水平:竖直）。水以 1.6 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.012，底坡 S = 0.004。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 1.5 my = 1.6 mz = 3n = 0.012S = 0.004

Q = m³/s

10.明渠流（曼宁公式）困难

一条宽 6 m 的矩形未抹面混凝土渠道须以 2.1 m 的水深均匀输送 40 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.014。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 40 m³/sb = 6 my = 2.1 mn = 0.014

S = m/m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 95.65 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.25·3 = 95.65 kN

答案

F = 95.65 kN

2.静水压力

答案: F = 245.1 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3.25·7.5 = 245.1 kN

答案

F = 245.1 kN

3.连续性和伯努利

答案: Q = 85.6 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v₁ = v₂·(150/300)² = 0.25·v₂

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·11000/(1000·(1 − 0.0625))) = 4.844 m/s

v₁ = 1.211 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.01767·4.844 = 0.0856 m³/s = 85.6 L/s

答案

Q = 85.6 L/s

4.连续性和伯努利

答案: Q = 12.22 L/s

从液面到射流的伯努利方程

v = √(2·(120000/1000 + 9.81·3)) = 17.29 m/s

流量

Q = A·v = 0.0007069·17.29 = 0.01222 m³/s = 12.22 L/s

答案

Q = 12.22 L/s

5.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 11.15 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.1²/4 = 0.007854 m²

V = Q/A = 0.015/0.007854 = 1.91 m/s

速度水头

V²/(2g) = 1.91²/(2·9.81) = 0.1859 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(400/0.1)·1.91²/(2·9.81) = 11.15 m

答案

h_f = 11.15 m

6.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 1.245 m

速度

V = Q/A = 0.08/0.07069 = 1.132 m/s

V²/(2g) = 0.06529 m

损失系数

f·L/D = 0.022·200/0.3 = 14.67

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 + 1.0 = 4.4

总水头损失

h_f = 14.67·0.06529 = 0.9575 m

h_m = 4.4·0.06529 = 0.2873 m

Δz = h_f + h_m = 1.245 m

答案

Δz = 1.245 m

7.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 28.61 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·70 = 20.6 kW

轴功率

P_shaft = P_h/η = 20.6/0.72 = 28.61 kW

答案

P_shaft = 28.61 kW

8.水泵与泵功率

答案: H = 40.05 m

速度

V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (45 + 6)·0.3305 = 16.86 m

压力水头

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9.81) = 10.19 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 13 + 10.19 + 16.86 = 40.05 m

答案

H = 40.05 m

9.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 48.32 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (1.5 + 3·1.6)·1.6 = 10.08 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1.5 + 2·1.6·√(1 + 3²) = 11.62 m

R = A/P = 0.8675 m

速度

V = (1/0.012)·0.8675^2/3·0.004^1/2 = 4.794 m/s

流量

Q = A·V = 10.08·4.794 = 48.32 m³/s

答案

Q = 48.32 m³/s

10.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.00149 m/m

几何参数

A = b·y = 6·2.1 = 12.6 m²

P = b + 2y = 6 + 2·2.1 = 10.2 m

R = A/P = 1.235 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.014·40/(12.6·1.151) = 0.0386

S = 0.0386² = 0.00149

答案

S = 0.00149

即每千米下降 1.49 m。

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