水力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

3.连续性和伯努利中等

水以 37 L/s 流过一根水平管道，管径从 150 mm 缩小到 100 mm。窄段的压强为 170 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p₁。

Q = 37 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₂ = 170 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.连续性和伯努利困难

一根内径 40 mm 的软管从敞口水箱中虹吸取水。软管的最高点 C 高出水面 1.5 m，出口（通大气）低于水面 2.5 m。忽略损失，取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q。

d = 40 mmz_C = +1.5 mz₂ = −2.5 mg = 9.81 m/s²

Q = L/s

5.管道摩擦与水头损失中等

水以 2.9 m/s 的平均流速流过一根长 1000 m、内径 200 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.022，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

V = 2.9 m/sL = 1000 mD = 200 mmf = 0.022g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 150 m、内径 300 mm、达西摩擦系数 f = 0.015 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 150 L/s？

Q = 150 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1.0

Δz = m

7.水泵与泵功率中等

一台水泵以 64 m 的扬程输送 60 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 65%，驱动它的电动机效率为 90%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 P_el，以 kW 计。

Q = 60 L/sH = 64 mη_pump = 65%η_motor = 90%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 6 m 的上游水箱。管道长 300 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.02；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 78%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 50 L/sΔz = 6 mL = 300 mD = 150 mmf = 0.02ΣK = 5η = 78%

P_shaft = kW

9.明渠流（曼宁公式）中等

一条矩形砾石渠道宽 1.5 m。水以 1 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.025，底坡 S = 0.004。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 1.5 my = 1 mn = 0.025S = 0.004

Q = m³/s

10.明渠流（曼宁公式）困难

一条宽 3 m 的矩形未抹面混凝土渠道须以 1.7 m 的水深均匀输送 17 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.014。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 17 m³/sb = 3 my = 1.7 mn = 0.014

S = m/m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 88.29 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.5·2 = 88.29 kN

答案

F = 88.29 kN

2.静水压力

答案: F = 143.3 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·4.75·3 = 143.3 kN

答案

F = 143.3 kN

3.连续性和伯努利

答案: p₁ = 178.9 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.037/0.01767 = 2.094 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.037/0.007854 = 4.711 m/s

伯努利方程

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 170 + ½·1000·(4.711² − 2.094²)/1000 = 170 + 8.905 = 178.9 kPa

答案

p₁ = 178.9 kPa

4.连续性和伯努利

答案: Q = 8.801 L/s

软管中的流速

液面和出口都通大气，所以压强项相互抵消。

v = √(2g·2.5) = √(2·9.81·2.5) = 7.004 m/s

流量

Q = A·v = 0.001257·7.004 = 0.008801 m³/s = 8.801 L/s

答案

Q = 8.801 L/s

5.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 47.15 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 2.9²/(2·9.81) = 0.4286 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(1000/0.2)·2.9²/(2·9.81) = 47.15 m

答案

h_f = 47.15 m

6.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 2.8 m

速度

V = Q/A = 0.15/0.07069 = 2.122 m/s

V²/(2g) = 0.2295 m

损失系数

f·L/D = 0.015·150/0.3 = 7.5

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 + 1.0 = 4.7

总水头损失

h_f = 7.5·0.2295 = 1.721 m

h_m = 4.7·0.2295 = 1.079 m

Δz = h_f + h_m = 2.8 m

答案

Δz = 2.8 m

7.水泵与泵功率

答案: P_el = 64.39 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.06·64 = 37.67 kW

轴功率

P_shaft = 37.67/0.65 = 57.95 kW

电功率

P_el = 57.95/0.9 = 64.39 kW

答案

P_el = 64.39 kW

8.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 15.32 kW

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (40 + 5)·0.408 = 18.36 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 6 + 18.36 = 24.36 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.05·24.36/0.78 = 15.32 kW

答案

P_shaft = 15.32 kW

9.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 2.157 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = b·y = 1.5·1 = 1.5 m²

P = b + 2y = 1.5 + 2·1 = 3.5 m

R = A/P = 0.4286 m

速度

V = (1/0.025)·0.4286^2/3·0.004^1/2 = 1.438 m/s

流量

Q = A·V = 1.5·1.438 = 2.157 m³/s

答案

Q = 2.157 m³/s

10.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.002948 m/m

几何参数

A = b·y = 3·1.7 = 5.1 m²

P = b + 2y = 3 + 2·1.7 = 6.4 m

R = A/P = 0.7969 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.014·17/(5.1·0.8595) = 0.05429

S = 0.05429² = 0.002948

答案

S = 0.002948

即每千米下降 2.948 m。

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering