水力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

3.连续性和伯努利中等

水从一个大型敞口水箱经直径 25 mm 的锐缘孔口流出。水位保持在孔口以上 1 m，流量系数为 0.62。求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

d = 25 mmh = 1 mC_d = 0.62g = 9.81 m/s²

Q = L/s

4.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 150 mm 缩小到 100 mm，同时升高 6 m。截面 1 处压强为 140 kPa，流速为 1.5 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 140 kPav₁ = 1.5 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 1.2 m/s 的速度流过一根长 50 m、内径 200 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.03，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 1.2 m/sL = 50 mD = 200 mmf = 0.03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.管道摩擦与水头损失困难

一根长 150 m、内径 250 mm（达西摩擦系数 f = 0.02）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 5）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 100 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 100 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 5

H = m

7.水泵与泵功率中等

在一次试验中，水泵以 68 m 的扬程输送 30 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 30.8 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 30 L/sH = 68 mP_shaft = 30.8 kWg = 9.81 m/s²

η = %

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 17 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 4（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 150 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 50 L/sΔz = 17 mL = 100 mD = 150 mmf = 0.018ΣK = 4p_tank = 150 kPa

H = m

9.明渠流（曼宁公式）中等

一条矩形砖砌渠道宽 3 m。水以 0.8 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.015，底坡 S = 0.0005。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 3 my = 0.8 mn = 0.015S = 0.0005

Q = m³/s

10.明渠流（曼宁公式）困难

一根内径 375 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 0.6 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。

D = 375 mmn = 0.013V = 0.6 m/s

S = m/m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 176.6 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·6 = 176.6 kN

答案

F = 176.6 kN

2.静水压力

答案: F = 90.5 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3·3 = 90.5 kN

答案

F = 90.5 kN

3.连续性和伯努利

答案: Q = 1.348 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

理想射流速度

√(2gh) = √(2·9.81·1) = 4.429 m/s

实际流量

流量系数考虑了射流收缩和孔口边缘处的摩擦。

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.62·0.0004909·4.429 = 0.001348 m³/s = 1.348 L/s

答案

Q = 1.348 L/s

4.连续性和伯努利

答案: p₂ = 76.57 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.5·(150/100)² = 3.375 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.5² − 3.375²)/1000 = −4.57 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·6/1000 = 58.86 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 140 + (−4.57) − 58.86 = 76.57 kPa

答案

p₂ = 76.57 kPa

5.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 5.4 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(50/0.2)·1.2²/(2·9.81) = 0.5505 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·0.5505 = 5400 Pa = 5.4 kPa

答案

Δp = 5.4 kPa

6.管道摩擦与水头损失

答案: H = 4.104 m

速度

V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s

V²/(2g) = 0.2115 m

损失系数

f·L/D = 0.02·150/0.25 = 12

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 = 6.4

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 12 + 6.4)·0.2115 = 4.104 m

答案

H = 4.104 m

7.水泵与泵功率

答案: η = 64.98 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·68 = 20.01 kW

效率

η = P_h/P_shaft = 20.01/30.8 = 64.98%

答案

η = 64.98%

8.水泵与泵功率

答案: H = 38.82 m

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12 + 4)·0.408 = 6.529 m

压力水头

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9.81) = 15.29 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 17 + 15.29 + 6.529 = 38.82 m

答案

H = 38.82 m

9.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 2.319 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = b·y = 3·0.8 = 2.4 m²

P = b + 2y = 3 + 2·0.8 = 4.6 m

R = A/P = 0.5217 m

速度

V = (1/0.015)·0.5217^2/3·0.0005^1/2 = 0.9661 m/s

流量

Q = A·V = 2.4·0.9661 = 2.319 m³/s

答案

Q = 2.319 m³/s

10.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.001429 m/m

水力半径

R = D/4 = 0.375/4 = 0.09375 m

由曼宁公式解 S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·0.6/0.2064)² = 0.001429

答案

S = 0.001429

即每千米下降 1.429 m。

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