物料与能量衡算：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

物料衡算

稳态
输入 = 输出
总物料衡算
ṁ1 + ṁ2 = ṁ3
组分衡算
ṁ1x1 + ṁ2x2 = ṁ3x3
蒸发器
F·xF = P·xP, W = F − P

能量衡算

显热
Q = ṁ·cp·ΔT
潜热
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

化学计量

物质的量
n = m/M
浓度
c = n/V
物质的量之比
使用配平方程式中的系数
限量反应物
最先耗尽的那种反应物
产率
实际产量 / 理论产量 × 100%

方法

  1. 写出并配平化学方程式。
  2. 把已知质量换算为物质的量：n = m/M。
  3. 用系数作为物质的量之比，求出所需物质的物质的量。
  4. 用 m = n·M 换算回质量。有两种反应物时，先找出限量反应物。

2练习题

1.物料衡算中等
混合器物流 1550 kg/h · 10% 糖物流 2ṁ₂ = ? · 30% 糖产品15% 糖

每小时需向物流 1 加入多少物流 2，才能使混合产品含 15% 的糖？求 ṁ2。

ṁ1 = 550 kg/hx1 = 10 %x2 = 30 %x3 = 15 %
ṁ2 = kg/h
2.物料衡算困难
蒸发器进料 F3400 kg/h · 6% NaOH产品 PP = ? · 55%蒸汽 W（纯水）0% NaOH

蒸发器通过蒸出纯水来浓缩NaOH溶液。求产品流量 P，单位为 kg/h。

F = 3400 kg/hxF = 6 %xP = 55 %
P = kg/h
3.能量衡算中等
热侧冷侧乙二醇混合液 · 180 °C120 °C水 · 25 °Ct = ? °C

热乙二醇混合液在无热损失的逆流换热器中冷却水。求水的出口温度 tout。

ṁh = 2.5 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 180 → 120 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 25 °C
tout = °C
4.能量衡算困难
热侧冷侧乙醇 · 150 °C120 °C水 · 15 °C55 °C · ṁ = ?损失 10%

热乙醇在换热器中加热水，该换热器将热流体放出热量的 10% 散失到环境中。求所需的水流量 ṁc。

ṁh = 2 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 150 → 120 °Ct: 15 → 55 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)损失 = 10 %
ṁc = kg/s
5.理想气体定律中等
210 g ArV = 10 LT = 45 °CP = ?

容积为 10 L 的容器中装有 210 g Ar，温度为 45 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 210 gM = 39.95 g/molV = 10 LT = 45 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
6.理想气体定律困难
N₂, M = 28.01 g/molP = 250 kPaT = 20 °Cρ = ?

按理想气体处理，求N₂在 250 kPa 和 20 °C 下的密度 ρ。

M = 28.01 g/molP = 250 kPaT = 20 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
7.化学计量中等
m(X)n(X)n(NaCl)m(NaCl)÷ M(X)× 2/ν× M(NaCl)

24 g Na 与 20 g Cl2 按 2Na + Cl2 → 2NaCl 反应。最多能生成多少质量 m 的 NaCl？

M(Na) = 22.99M(Cl2) = 70.9M(NaCl) = 58.44 g/mol
m = g
8.化学计量困难
m(CaCO3​)n(CaCO3​)n(CaO)m(CaO)÷ M(CaCO3​)× 1/1× M(CaO)

在反应 CaCO3 → CaO + CO2 中，30 g CaCO3 完全反应（其他反应物过量），收集到 15.8 g CaO。求产率 Y。

M(CaCO3) = 100.09 g/molM(CaO) = 56.08 g/mol实际: 15.8 g
Y = %

3溶液

1.物料衡算

答案: ṁ2 = 183.3 kg/h

稳态物料衡算：总量和每个组分都满足输入 = 输出。混合问题同时用到两者。

衡算

Total: ṁ3 = ṁ1 + ṁ2
糖: ṁ1x1 + ṁ2x2 = (ṁ1 + ṁ2)x3

求解 ṁ2

ṁ2 = ṁ1(x1 − x3)/(x3 − x2) = 550·(10 − 15)/(15 − 30) = 183.3 kg/h

答案

ṁ2 = 183.3 kg/h
2.物料衡算

答案: P = 370.9 kg/h

联结组分：只在一股物流中不变地通过的组分（这里是溶质）可直接关联各流量。其余由总衡算求出。

溶质衡算

F·xF = P·xP → P = 3400·6/55 = 370.9 kg/h

答案

P = 370.9 kg/h
3.能量衡算

答案: tout = 89.59 °C

换热器能量衡算：无损失时 ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

热流体放出的热量

Q = 2.5·3.6·(180 − 120) = 540 kW

水吸收的热量

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 25 + 540/(2·4.18) = 89.59 °C

答案

tout = 89.59 °C
4.能量衡算

答案: ṁc = 0.788 kg/s

有损失的能量衡算：放出热量 = 吸收热量 + 损失热量。

放出热量

Qh = 2·2.44·(150 − 120) = 146.4 kW

传给水的热量

Qc = (1 − 0.1)·146.4 = 131.8 kW

水流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 131.8/(4.18·40) = 0.788 kg/s

答案

ṁc = 0.788 kg/s
5.理想气体定律

答案: P = 1390 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 210/39.95 = 5.257 mol
T = 45 + 273.15 = 318.1 K

压强

P = nRT/V = 5.257·8.314·318.1/0.01 = 1390 kPa

答案

P = 1390 kPa
6.理想气体定律

答案: ρ = 2.873 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 20 + 273.15 = 293.1 K

密度

ρ = 250·28.01/(8.314·293.1) = 2.873 kg/m³

答案

ρ = 2.873 kg/m³
7.化学计量

答案: m = 32.97 g

化学计量：配平的方程式计的是粒子数，不是克数。用 n = m/M 把质量换算为物质的量，以方程式系数作为物质的量之比，再用 m = n·M 换算回质量。有两种反应物时，限量反应物是先耗尽、决定生成多少产物的那一种。

各反应物的物质的量

n(Na) = 24/22.99 = 1.044 mol
n(Cl2) = 20/70.9 = 0.2821 mol

限量反应物

1.044/2 = 0.522, 0.2821/1 = 0.2821 → Cl2

产物的质量

n(NaCl) = 0.2821·2 = 0.5642 mol
m = 0.5642·58.44 = 32.97 g

答案

m = 32.97 g
8.化学计量

答案: Y = 94 %

化学计量：配平的方程式计的是粒子数，不是克数。用 n = m/M 把质量换算为物质的量，以方程式系数作为物质的量之比，再用 m = n·M 换算回质量。有两种反应物时，限量反应物是先耗尽、决定生成多少产物的那一种。

理论产量

n(CaCO3) = 30/100.09 = 0.2997 mol
m = 0.2997·1/1·56.08 = 16.81 g

产率

Y = 15.8/16.81·100 = 94%

答案

Y = 94%

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