物料与能量衡算：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

物料衡算

稳态
输入 = 输出
总物料衡算
ṁ1 + ṁ2 = ṁ3
组分衡算
ṁ1x1 + ṁ2x2 = ṁ3x3
蒸发器
F·xF = P·xP, W = F − P

能量衡算

显热
Q = ṁ·cp·ΔT
潜热
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

化学计量

物质的量
n = m/M
浓度
c = n/V
物质的量之比
使用配平方程式中的系数
限量反应物
最先耗尽的那种反应物
产率
实际产量 / 理论产量 × 100%

方法

  1. 写出并配平化学方程式。
  2. 把已知质量换算为物质的量：n = m/M。
  3. 用系数作为物质的量之比，求出所需物质的物质的量。
  4. 用 m = n·M 换算回质量。有两种反应物时，先找出限量反应物。

2练习题

1.物料衡算中等
混合器物流 1300 kg/h · 15% 盐物流 2ṁ₂ = ? · 35% 盐产品30% 盐

每小时需向物流 1 加入多少物流 2，才能使混合产品含 30% 的盐？求 ṁ2。

ṁ1 = 300 kg/hx1 = 15 %x2 = 35 %x3 = 30 %
ṁ2 = kg/h
2.物料衡算困难
蒸发器进料 F3100 kg/h · 12% 糖产品 PP = ? · 45%蒸汽 W（纯水）0% 糖

蒸发器通过蒸出纯水来浓缩糖溶液。求产品流量 P，单位为 kg/h。

F = 3100 kg/hxF = 12 %xP = 45 %
P = kg/h
3.能量衡算中等
热侧冷侧乙二醇混合液 · 160 °C70 °C水 · 30 °Ct = ? °C

热乙二醇混合液在无热损失的逆流换热器中冷却水。求水的出口温度 tout。

ṁh = 1 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 160 → 70 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 30 °C
tout = °C
4.能量衡算困难
热侧冷侧乙二醇混合液 · 130 °C100 °C水 · 25 °C80 °C · ṁ = ?损失 15%

热乙二醇混合液在换热器中加热水，该换热器将热流体放出热量的 15% 散失到环境中。求所需的水流量 ṁc。

ṁh = 3 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 130 → 100 °Ct: 25 → 80 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)损失 = 15 %
ṁc = kg/s
5.理想气体定律中等
140 g O₂P = 550 kPaT = 95 °CV = ?

140 g O₂在 550 kPa 和 95 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 140 gM = 32 g/molP = 550 kPaT = 95 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
6.理想气体定律困难
Ar, M = 39.95 g/molP = 550 kPaT = 30 °Cρ = ?

按理想气体处理，求Ar在 550 kPa 和 30 °C 下的密度 ρ。

M = 39.95 g/molP = 550 kPaT = 30 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
7.化学计量中等
m(X)n(X)n(AlCl3​)m(AlCl3​)÷ M(X)× 2/ν× M(AlCl3​)

24 g Al 与 8 g Cl2 按 2Al + 3Cl2 → 2AlCl3 反应。最多能生成多少质量 m 的 AlCl3？

M(Al) = 26.98M(Cl2) = 70.9M(AlCl3) = 133.33 g/mol
m = g
8.化学计量困难
m(Fe2​O3​)n(Fe2​O3​)n(CO2​)m(CO2​)÷ M(Fe2​O3​)× 3/1× M(CO2​)

在反应 Fe2O3 + 3CO → 2Fe + 3CO2 中，4 g Fe2O3 完全反应（其他反应物过量），收集到 2.91 g CO2。求产率 Y。

M(Fe2O3) = 159.69 g/molM(CO2) = 44.01 g/mol实际: 2.91 g
Y = %

3溶液

1.物料衡算

答案: ṁ2 = 900 kg/h

稳态物料衡算：总量和每个组分都满足输入 = 输出。混合问题同时用到两者。

衡算

Total: ṁ3 = ṁ1 + ṁ2
盐: ṁ1x1 + ṁ2x2 = (ṁ1 + ṁ2)x3

求解 ṁ2

ṁ2 = ṁ1(x1 − x3)/(x3 − x2) = 300·(15 − 30)/(30 − 35) = 900 kg/h

答案

ṁ2 = 900 kg/h
2.物料衡算

答案: P = 826.7 kg/h

联结组分：只在一股物流中不变地通过的组分（这里是溶质）可直接关联各流量。其余由总衡算求出。

溶质衡算

F·xF = P·xP → P = 3100·12/45 = 826.7 kg/h

答案

P = 826.7 kg/h
3.能量衡算

答案: tout = 55.84 °C

换热器能量衡算：无损失时 ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

热流体放出的热量

Q = 1·3.6·(160 − 70) = 324 kW

水吸收的热量

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 30 + 324/(3·4.18) = 55.84 °C

答案

tout = 55.84 °C
4.能量衡算

答案: ṁc = 1.198 kg/s

有损失的能量衡算：放出热量 = 吸收热量 + 损失热量。

放出热量

Qh = 3·3.6·(130 − 100) = 324 kW

传给水的热量

Qc = (1 − 0.15)·324 = 275.4 kW

水流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 275.4/(4.18·55) = 1.198 kg/s

答案

ṁc = 1.198 kg/s
5.理想气体定律

答案: V = 24.35 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 140/32 = 4.375 mol
T = 95 + 273.15 = 368.1 K

体积

V = nRT/P = 4.375·8.314·368.1/550 = 24.35 L

答案

V = 24.35 L
6.理想气体定律

答案: ρ = 8.718 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 30 + 273.15 = 303.1 K

密度

ρ = 550·39.95/(8.314·303.1) = 8.718 kg/m³

答案

ρ = 8.718 kg/m³
7.化学计量

答案: m = 10.03 g

化学计量：配平的方程式计的是粒子数，不是克数。用 n = m/M 把质量换算为物质的量，以方程式系数作为物质的量之比，再用 m = n·M 换算回质量。有两种反应物时，限量反应物是先耗尽、决定生成多少产物的那一种。

各反应物的物质的量

n(Al) = 24/26.98 = 0.8895 mol
n(Cl2) = 8/70.9 = 0.1128 mol

限量反应物

0.8895/2 = 0.4448, 0.1128/3 = 0.03761 → Cl2

产物的质量

n(AlCl3) = 0.03761·2 = 0.07522 mol
m = 0.07522·133.33 = 10.03 g

答案

m = 10.03 g
8.化学计量

答案: Y = 87.99 %

化学计量：配平的方程式计的是粒子数，不是克数。用 n = m/M 把质量换算为物质的量，以方程式系数作为物质的量之比，再用 m = n·M 换算回质量。有两种反应物时，限量反应物是先耗尽、决定生成多少产物的那一种。

理论产量

n(Fe2O3) = 4/159.69 = 0.02505 mol
m = 0.02505·3/1·44.01 = 3.307 g

产率

Y = 2.91/3.307·100 = 87.99%

答案

Y = 87.99%

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