物料与能量衡算：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

物料衡算

稳态
输入 = 输出
总物料衡算
ṁ1 + ṁ2 = ṁ3
组分衡算
ṁ1x1 + ṁ2x2 = ṁ3x3
蒸发器
F·xF = P·xP, W = F − P

能量衡算

显热
Q = ṁ·cp·ΔT
潜热
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

化学计量

物质的量
n = m/M
浓度
c = n/V
物质的量之比
使用配平方程式中的系数
限量反应物
最先耗尽的那种反应物
产率
实际产量 / 理论产量 × 100%

方法

  1. 写出并配平化学方程式。
  2. 把已知质量换算为物质的量：n = m/M。
  3. 用系数作为物质的量之比，求出所需物质的物质的量。
  4. 用 m = n·M 换算回质量。有两种反应物时，先找出限量反应物。

2练习题

1.物料衡算中等
混合器物流 1250 kg/h · 35% 糖物流 2ṁ₂ = ? · 10% 糖产品15% 糖

每小时需向物流 1 加入多少物流 2，才能使混合产品含 15% 的糖？求 ṁ2。

ṁ1 = 250 kg/hx1 = 35 %x2 = 10 %x3 = 15 %
ṁ2 = kg/h
2.物料衡算困难
蒸发器进料 F3200 kg/h · 10% 糖产品 PP = ? · 50%蒸汽 W（纯水）0% 糖

蒸发器通过蒸出纯水来浓缩糖溶液。求产品流量 P，单位为 kg/h。

F = 3200 kg/hxF = 10 %xP = 50 %
P = kg/h
3.能量衡算中等
热侧冷侧乙二醇混合液 · 130 °C80 °C水 · 30 °Ct = ? °C

热乙二醇混合液在无热损失的逆流换热器中冷却水。求水的出口温度 tout。

ṁh = 1 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 130 → 80 °Cṁc = 1.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 30 °C
tout = °C
4.能量衡算困难
热侧冷侧乙醇 · 180 °C150 °C水 · 10 °C50 °C · ṁ = ?损失 15%

热乙醇在换热器中加热水，该换热器将热流体放出热量的 15% 散失到环境中。求所需的水流量 ṁc。

ṁh = 1 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 180 → 150 °Ct: 10 → 50 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)损失 = 15 %
ṁc = kg/s
5.理想气体定律中等
320 g N₂P = 450 kPaT = 50 °CV = ?

320 g N₂在 450 kPa 和 50 °C 下占多少体积 V？按理想气体处理。

m = 320 gM = 28.01 g/molP = 450 kPaT = 50 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
6.理想气体定律困难
He, M = 4.003 g/molP = 400 kPaT = 160 °Cρ = ?

按理想气体处理，求He在 400 kPa 和 160 °C 下的密度 ρ。

M = 4.003 g/molP = 400 kPaT = 160 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
7.化学计量中等
m(X)n(X)n(AlCl3​)m(AlCl3​)÷ M(X)× 2/ν× M(AlCl3​)

6 g Al 与 40 g Cl2 按 2Al + 3Cl2 → 2AlCl3 反应。最多能生成多少质量 m 的 AlCl3？

M(Al) = 26.98M(Cl2) = 70.9M(AlCl3) = 133.33 g/mol
m = g
8.化学计量困难
m(Fe2​O3​)n(Fe2​O3​)n(CO2​)m(CO2​)÷ M(Fe2​O3​)× 3/1× M(CO2​)

在反应 Fe2O3 + 3CO → 2Fe + 3CO2 中，12 g Fe2O3 完全反应（其他反应物过量），收集到 7.74 g CO2。求产率 Y。

M(Fe2O3) = 159.69 g/molM(CO2) = 44.01 g/mol实际: 7.74 g
Y = %

3溶液

1.物料衡算

答案: ṁ2 = 1000 kg/h

稳态物料衡算：总量和每个组分都满足输入 = 输出。混合问题同时用到两者。

衡算

Total: ṁ3 = ṁ1 + ṁ2
糖: ṁ1x1 + ṁ2x2 = (ṁ1 + ṁ2)x3

求解 ṁ2

ṁ2 = ṁ1(x1 − x3)/(x3 − x2) = 250·(35 − 15)/(15 − 10) = 1000 kg/h

答案

ṁ2 = 1000 kg/h
2.物料衡算

答案: P = 640 kg/h

联结组分：只在一股物流中不变地通过的组分（这里是溶质）可直接关联各流量。其余由总衡算求出。

溶质衡算

F·xF = P·xP → P = 3200·10/50 = 640 kg/h

答案

P = 640 kg/h
3.能量衡算

答案: tout = 58.71 °C

换热器能量衡算：无损失时 ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

热流体放出的热量

Q = 1·3.6·(130 − 80) = 180 kW

水吸收的热量

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 30 + 180/(1.5·4.18) = 58.71 °C

答案

tout = 58.71 °C
4.能量衡算

答案: ṁc = 0.3721 kg/s

有损失的能量衡算：放出热量 = 吸收热量 + 损失热量。

放出热量

Qh = 1·2.44·(180 − 150) = 73.2 kW

传给水的热量

Qc = (1 − 0.15)·73.2 = 62.22 kW

水流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 62.22/(4.18·40) = 0.3721 kg/s

答案

ṁc = 0.3721 kg/s
5.理想气体定律

答案: V = 68.21 L

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = 320/28.01 = 11.42 mol
T = 50 + 273.15 = 323.1 K

体积

V = nRT/P = 11.42·8.314·323.1/450 = 68.21 L

答案

V = 68.21 L
6.理想气体定律

答案: ρ = 0.4446 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 160 + 273.15 = 433.1 K

密度

ρ = 400·4.003/(8.314·433.1) = 0.4446 kg/m³

答案

ρ = 0.4446 kg/m³
7.化学计量

答案: m = 29.65 g

化学计量：配平的方程式计的是粒子数，不是克数。用 n = m/M 把质量换算为物质的量，以方程式系数作为物质的量之比，再用 m = n·M 换算回质量。有两种反应物时，限量反应物是先耗尽、决定生成多少产物的那一种。

各反应物的物质的量

n(Al) = 6/26.98 = 0.2224 mol
n(Cl2) = 40/70.9 = 0.5642 mol

限量反应物

0.2224/2 = 0.1112, 0.5642/3 = 0.1881 → Al

产物的质量

n(AlCl3) = 0.1112·2 = 0.2224 mol
m = 0.2224·133.33 = 29.65 g

答案

m = 29.65 g
8.化学计量

答案: Y = 78.01 %

化学计量：配平的方程式计的是粒子数，不是克数。用 n = m/M 把质量换算为物质的量，以方程式系数作为物质的量之比，再用 m = n·M 换算回质量。有两种反应物时，限量反应物是先耗尽、决定生成多少产物的那一种。

理论产量

n(Fe2O3) = 12/159.69 = 0.07515 mol
m = 0.07515·3/1·44.01 = 9.921 g

产率

Y = 7.74/9.921·100 = 78.01%

答案

Y = 78.01%

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