物料与能量衡算：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

物料衡算

稳态
输入 = 输出
总物料衡算
ṁ1 + ṁ2 = ṁ3
组分衡算
ṁ1x1 + ṁ2x2 = ṁ3x3
蒸发器
F·xF = P·xP, W = F − P

能量衡算

显热
Q = ṁ·cp·ΔT
潜热
Q = ṁ·hfg
混合
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
水
cp ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

理想气体定律

理想气体定律
pV = nRT
气体常数
R = 8.314 J/(mol·K)
联合气体定律
p1V1/T1 = p2V2/T2
物质的量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

化学计量

物质的量
n = m/M
浓度
c = n/V
物质的量之比
使用配平方程式中的系数
限量反应物
最先耗尽的那种反应物
产率
实际产量 / 理论产量 × 100%

方法

  1. 写出并配平化学方程式。
  2. 把已知质量换算为物质的量：n = m/M。
  3. 用系数作为物质的量之比，求出所需物质的物质的量。
  4. 用 m = n·M 换算回质量。有两种反应物时，先找出限量反应物。

2练习题

1.物料衡算中等
混合器物流 1850 kg/h · 15% 糖物流 2ṁ₂ = ? · 50% 糖产品30% 糖

每小时需向物流 1 加入多少物流 2，才能使混合产品含 30% 的糖？求 ṁ2。

ṁ1 = 850 kg/hx1 = 15 %x2 = 50 %x3 = 30 %
ṁ2 = kg/h
2.物料衡算困难
蒸发器进料 F3700 kg/h · 16% 糖产品 P65% 糖蒸汽 W（纯水）W = ? kg/h

蒸发器通过蒸出纯水来浓缩糖溶液。求蒸发的水量 W，单位为 kg/h。

F = 3700 kg/hxF = 16 %xP = 65 %
W = kg/h
3.能量衡算中等
热侧冷侧乙二醇混合液 · 120 °C90 °C水 · 15 °Ct = ? °C

热乙二醇混合液在无热损失的逆流换热器中冷却水。求水的出口温度 tout。

ṁh = 1 kg/scp,h = 3.6 kJ/(kg·K)Th: 120 → 90 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)tin = 15 °C
tout = °C
4.能量衡算困难
热侧冷侧乙醇 · 120 °C70 °C水 · 15 °C85 °C · ṁ = ?损失 5%

热乙醇在换热器中加热水，该换热器将热流体放出热量的 5% 散失到环境中。求所需的水流量 ṁc。

ṁh = 1 kg/scp,h = 2.44 kJ/(kg·K)Th: 120 → 70 °Ct: 15 → 85 °Ccp,c = 4.18 kJ/(kg·K)损失 = 5 %
ṁc = kg/s
5.理想气体定律中等
410 g N₂V = 10 LT = 5 °CP = ?

容积为 10 L 的容器中装有 410 g N₂，温度为 5 °C。按理想气体处理，求压强 P。

m = 410 gM = 28.01 g/molV = 10 LT = 5 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
6.理想气体定律困难
He, M = 4.003 g/molP = 200 kPaT = 120 °Cρ = ?

按理想气体处理，求He在 200 kPa 和 120 °C 下的密度 ρ。

M = 4.003 g/molP = 200 kPaT = 120 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
7.化学计量中等
m(X)n(X)n(NH3​)m(NH3​)÷ M(X)× 2/ν× M(NH3​)

20 g N2 与 24 g H2 按 N2 + 3H2 → 2NH3 反应。最多能生成多少质量 m 的 NH3？

M(N2) = 28.02M(H2) = 2.016M(NH3) = 17.03 g/mol
m = g
8.化学计量困难
m(Al)n(Al)n(AlCl3​)m(AlCl3​)÷ M(Al)× 2/2× M(AlCl3​)

在反应 2Al + 3Cl2 → 2AlCl3 中，4 g Al 完全反应（其他反应物过量），收集到 14.83 g AlCl3。求产率 Y。

M(Al) = 26.98 g/molM(AlCl3) = 133.33 g/mol实际: 14.83 g
Y = %

3溶液

1.物料衡算

答案: ṁ2 = 637.5 kg/h

稳态物料衡算：总量和每个组分都满足输入 = 输出。混合问题同时用到两者。

衡算

Total: ṁ3 = ṁ1 + ṁ2
糖: ṁ1x1 + ṁ2x2 = (ṁ1 + ṁ2)x3

求解 ṁ2

ṁ2 = ṁ1(x1 − x3)/(x3 − x2) = 850·(15 − 30)/(30 − 50) = 637.5 kg/h

答案

ṁ2 = 637.5 kg/h
2.物料衡算

答案: W = 2789 kg/h

联结组分：只在一股物流中不变地通过的组分（这里是溶质）可直接关联各流量。其余由总衡算求出。

溶质衡算

F·xF = P·xP → P = 3700·16/65 = 910.8 kg/h

总物料衡算

W = F − P = 3700 − 910.8 = 2789 kg/h

答案

W = 2789 kg/h
3.能量衡算

答案: tout = 40.84 °C

换热器能量衡算：无损失时 ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin)。

热流体放出的热量

Q = 1·3.6·(120 − 90) = 108 kW

水吸收的热量

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 15 + 108/(1·4.18) = 40.84 °C

答案

tout = 40.84 °C
4.能量衡算

答案: ṁc = 0.3961 kg/s

有损失的能量衡算：放出热量 = 吸收热量 + 损失热量。

放出热量

Qh = 1·2.44·(120 − 70) = 122 kW

传给水的热量

Qc = (1 − 0.05)·122 = 115.9 kW

水流量

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 115.9/(4.18·70) = 0.3961 kg/s

答案

ṁc = 0.3961 kg/s
5.理想气体定律

答案: P = 3385 kPa

理想气体定律：PV = nRT，其中 n = m/M。

物质的量

n = m/M = 410/28.01 = 14.64 mol
T = 5 + 273.15 = 278.1 K

压强

P = nRT/V = 14.64·8.314·278.1/0.01 = 3385 kPa

答案

P = 3385 kPa
6.理想气体定律

答案: ρ = 0.2449 kg/m³

理想气体密度：ρ = PM/(RT)。

整理气体定律

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 120 + 273.15 = 393.1 K

密度

ρ = 200·4.003/(8.314·393.1) = 0.2449 kg/m³

答案

ρ = 0.2449 kg/m³
7.化学计量

答案: m = 24.31 g

化学计量：配平的方程式计的是粒子数，不是克数。用 n = m/M 把质量换算为物质的量，以方程式系数作为物质的量之比，再用 m = n·M 换算回质量。有两种反应物时，限量反应物是先耗尽、决定生成多少产物的那一种。

各反应物的物质的量

n(N2) = 20/28.02 = 0.7138 mol
n(H2) = 24/2.016 = 11.9 mol

限量反应物

0.7138/1 = 0.7138, 11.9/3 = 3.968 → N2

产物的质量

n(NH3) = 0.7138·2 = 1.428 mol
m = 1.428·17.03 = 24.31 g

答案

m = 24.31 g
8.化学计量

答案: Y = 75.02 %

化学计量：配平的方程式计的是粒子数，不是克数。用 n = m/M 把质量换算为物质的量，以方程式系数作为物质的量之比，再用 m = n·M 换算回质量。有两种反应物时，限量反应物是先耗尽、决定生成多少产物的那一种。

理论产量

n(Al) = 4/26.98 = 0.1483 mol
m = 0.1483·2/2·133.33 = 19.77 g

产率

Y = 14.83/19.77·100 = 75.02%

答案

Y = 75.02%

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