库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
一个 +8 µC 的电荷与一个 +2 µC 的电荷相距 10 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 6 cm。求 P 点电场强度的大小 E。
q1 = +8 µCq2 = +2 µCr1 = 6 cmr2 = 4 cm
E = N/C
2.库仑定律与电场困难
一个电子以 1 × 10⁷ m/s 的速度平行于两块平行板射入板间的匀强电场。板长 2 cm，板间电场为 1100 N/C。电子电荷量 1.602 × 10⁻¹⁹ C，质量 9.109 × 10⁻³¹ kg；忽略重力。电子离开平行板时侧向偏移多远 y？答案以 mm 表示。
v₀ = 1 × 10⁷ m/sL = 2 cmE = 1100 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9.109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.串并联电阻中等
求流过 R2 的电流 IR2。
V1 = 9 VR1 = 10 ΩR2 = 5 ΩR3 = 5 ΩR4 = 3 Ω
IR2 = A
4.串并联电阻困难
求流过 R2 的电流 IR2。
V1 = 30 VR1 = 30 ΩR2 = 30 ΩR3 = 8 ΩR4 = 4 ΩR5 = 20 ΩR6 = 20 Ω
IR2 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 1 ms 时的电流 i。
Vs = 15 VR = 47 ΩL = 47 mHt = 1 ms
i = A
6.RC 和 RL 暂态困难
开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 15 V，极性如图所示。 求 t = 120 ms 时的电容电压 vC。
Vs = 6 VR = 4.7 kΩC = 68 µFvC(0) = 15 Vt = 120 ms
vC = V
7.磁场与电磁感应中等
一根长 60 cm 的金属杆以 5 m/s 的速度沿两条导轨滑动，处于垂直进入纸面的 0.25 T 均匀磁场中。导轨之间接有 1 Ω 的电阻；杆和导轨的电阻可忽略。求电阻上消耗的功率 P。
B = 0.25 TL = 60 cmv = 5 m/sR = 1 Ω
P = mW
8.磁场与电磁感应困难
一个长空心螺线管有 200 匝，长度为 10 cm，直径为 2 cm。当它通有 1 A 的电流时，求其磁场中储存的能量 W。
N = 200l = 10 cm⌀ = 2 cmI = 1 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
W = µJ
9.交流阻抗和相量中等
一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、1000 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。
V = 12 V (rms)f = 1000 HzR = 10 ΩL = 20 mHC = 10 µF
I = A
10.交流阻抗和相量困难
一个 RLC 串联电路由 1 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 VL。
V = 1 V (rms)R = 20 ΩL = 20 mHC = 4.7 µF
VL = V
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: E = 8.74 × 10⁶ N/C
库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。
各电荷的电场
E1 = k·8 × 10⁻⁶/0.06² = 1.998 × 10⁷ N/C
E2 = k·2 × 10⁻⁶/0.04² = 1.124 × 10⁷ N/C
方向与合成
两个电荷都是正的：在 P 点，它们的电场各自背离对应的电荷，因此方向相反。
E = |1.998 × 10⁷ − 1.124 × 10⁷| = 8.74 × 10⁶ N/C
答案
E = 8.74 × 10⁶ N/C
2.库仑定律与电场
答案: y = 0.3869 mm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
在板间的时间
t = L/v₀ = 0.02/1 × 10⁷ = 2 × 10⁻⁹ s
侧向加速度
a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·1100/9.109 × 10⁻³¹ = 1.935 × 10¹⁴ m/s²
挠度
y = ½·a·t² = ½·1.935 × 10¹⁴·(2 × 10⁻⁹)² = 0.0003869 m = 0.3869 mm
答案
y = 0.3869 mm
电子被推向正极板，与电场方向相反。
3.串并联电阻
答案: IR2 = 0.4235 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 5 + 3 = 8 Ω
R2 ∥ 8 = 5·8/(5+8) = 3.077 Ω
Req = R1 + 3.077 = 10 + 3.077 = 13.08 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 9/13.08 = 0.6882 A
流过 R₂ 的电流
减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。
VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 0.6882·10 = 2.118 V
IR2 = VA/R2 = 2.118/5 = 0.4235 A
答案
IR2 = 0.4235 A
4.串并联电阻
答案: IR2 = 0.2184 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 20 + 20 = 40 Ω
R4 ∥ 40 = 3.636 Ω
R3 + 3.636 = 11.64 Ω
R2 ∥ 11.64 = 8.384 Ω
Req = R1 + 8.384 = 30 + 8.384 = 38.38 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 30/38.38 = 0.7816 A
流过 R₂ 的电流
减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。
VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 0.7816·30 = 6.553 V
IR2 = VA/R2 = 6.553/30 = 0.2184 A
答案
IR2 = 0.2184 A
5.RC 和 RL 暂态
答案: i = 0.2017 A
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数和终值电流
开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。
τ = L/R = 47 mH / 47 Ω = 1 ms
i(∞) = Vs/R = 15/47 = 0.3191 A
给定时刻的电流
i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.3191·(1 − e−1/1) = 0.2017 A
答案
i = 0.2017 A
6.RC 和 RL 暂态
答案: vC = 12.18 V
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
初始值、终值、时间常数
电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。
vC(0) = 15 V, vC(∞) = Vs = 6 V
τ = R·C = 4.7 kΩ · 68 µF = 319.6 ms
vC(t) = 6 + (15 − 6)·e−t/τ
给定时刻的电压
vC(120) = 6 + (9)·e−120/319.6 = 12.18 V
答案
vC = 12.18 V
7.磁场与电磁感应
答案: P = 562.5 mW
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
动生电动势
ε = BLv = 0.25·0.6·5 = 0.75 V
电流
I = ε/R = 0.75/1 = 0.75 A
功率
P = εI = 0.75·0.75 = 0.5625 W
答案
P = 562.5 mW
8.磁场与电磁感应
答案: W = 78.96 µJ
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
自感
L = μ₀N²A/l = 157.9 µH
储存的能量
W = ½LI² = ½·0.0001579·1² = 7.896 × 10⁻⁵ J = 78.96 µJ
答案
W = 78.96 µJ
9.交流阻抗和相量
答案: I = 0.1089 A
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0.02 = 125.7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·10·10⁻⁶) = 15.92 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(10² + (109.7)²) = 110.2 Ω
电流
串联电路中每个元件流过相同电流。
I = V/|Z| = 12/110.2 = 0.1089 A
答案
I = 0.1089 A
10.交流阻抗和相量
答案: VL = 3.262 V
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
谐振
谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.02·4.7·10⁻⁶) = 3262 rad/s
I = V/R = 1/20 = 0.05 A
电感两端的电压
XL = ω₀L = 3262·0.02 = 65.23 Ω
VL = I·XL = 0.05·65.23 = 3.262 V
答案
VL = 3.262 V
这是电源电压的 Q = 3.262 倍。
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