物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

三个点电荷位于一条直线上：左边为 +3 µC，右边相距 20 cm 处为 −8 µC，两者之间距左边电荷 10 cm 处为 −2 µC。求中间电荷所受合电场力 F 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +3 µCq_R = −8 µCq_M = −2 µCr_L = 10 cmr_R = 10 cm

F = N

2.库仑定律与电场困难

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 6 µC 位于直角顶点，q₁ = 5 µC 沿一条直角边距它 6 cm，q₂ = 1 µC 沿另一条直角边距它 5 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q₁ = 5 µCq₂ = 1 µCq₃ = 6 µCr₁₃ = 6 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 30 VR₁ = 8 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 10 Ω

R_eq = Ω

4.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 10 VR₁ = 2 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 4 Ω

I_R1 = A

5.RC 和 RL 暂态中等

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。开关在 t = 0 闭合时电容未充电。求 t = 50 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 6 VR₁ = 4.7 kΩR₂ = 6.8 kΩC = 22 µFt = 50 ms

v_C = V

6.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 2 V，极性如图所示。 v_C 需要多长时间达到 19.6 V？求 t。

V_s = 24 VR = 10 kΩC = 22 µFv_C(0) = 2 V

t = ms

7.磁场与电磁感应中等

一根长 60 cm 的金属杆以 4 m/s 的速度沿两条导轨滑动，处于垂直进入纸面的 0.6 T 均匀磁场中。导轨之间接有 4 Ω 的电阻；杆和导轨的电阻可忽略。求电阻上消耗的功率 P。

B = 0.6 TL = 60 cmv = 4 m/sR = 4 Ω

P = mW

8.磁场与电磁感应困难

一个 5 mH 的电感中，电流在 5 ms 内从 0.5 A 均匀变化到 4.5 A。求自感电动势的大小 ε。

L = 5 mH0.5 A → 4.5 AΔt = 5 ms

ε = V

9.交流阻抗和相量中等

一个电阻和一个电容并联接在 100 V（有效值）、500 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 20 ΩC = 10 µF

I = A

10.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、60 Hz 的电源上。求电路的谐振频率 f₀。

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 15 ΩL = 20 mHC = 22 µF

f₀ = Hz

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: F = 19.78 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

每个电荷产生的力

向右为正。

F_L = −k·3·2 × 10⁻¹²/0.1² = −5.394 N

F_R = −k·8·2 × 10⁻¹²/0.1² = −14.38 N

合力

F = −5.394 + (−14.38) = −19.78 N → |F| = 19.78 N

答案

F = 19.78 N

合力向左。

2.库仑定律与电场

答案: F = 77.96 N

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

q₃ 所受的各个力

F₁ = k·5·6 × 10⁻¹²/0.06² = 74.92 N

F₂ = k·1·6 × 10⁻¹²/0.05² = 21.58 N

矢量和

F = √(74.92² + 21.58²) = 77.96 N

答案

F = 77.96 N

3.串并联电阻

答案: R_eq = 12.5 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 8 + 10 = 18 Ω

R₂ ∥ 18 = 6·18/(6+18) = 4.5 Ω

R_eq = R₁ + 4.5 = 8 + 4.5 = 12.5 Ω

答案

R_eq = 12.5 Ω

4.串并联电阻

答案: I_R1 = 2.579 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 3 + 4 = 7 Ω

R₄ ∥ 7 = 5.469 Ω

R₃ + 5.469 = 30.47 Ω

R₂ ∥ 30.47 = 1.877 Ω

R_eq = R₁ + 1.877 = 2 + 1.877 = 3.877 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/3.877 = 2.579 A

答案

I_R1 = 2.579 A

5.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 1.982 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 R_th；把电容断开，求它最终稳定的电压。

R_th = R₁ ∥ R₂ = 4.7·6.8/(4.7 + 6.8) = 2.779 kΩ

v_C(∞) = 6·6.8/(4.7 + 6.8) = 3.548 V

时间常数

τ = R_th·C = 2.779·22 = 61.14 ms

充电曲线

v_C(t) = 3.548·(1 − e^−50/61.14) = 1.982 V

答案

v_C = 1.982 V

6.RC 和 RL 暂态

答案: t = 354.1 ms

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 2 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 10 kΩ · 22 µF = 220 ms

v_C(t) = 24 + (2 − 24)·e^−t/τ

求解时间

19.6 = 24 + (−22)·e^−t/τ → e^−t/τ = (19.6 − 24)/(2 − 24) = 0.2

t = τ·ln((2 − 24)/(19.6 − 24)) = 220·ln(5) = 354.1 ms

答案

t = 354.1 ms

7.磁场与电磁感应

答案: P = 518.4 mW

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

动生电动势

ε = BLv = 0.6·0.6·4 = 1.44 V

电流

I = ε/R = 1.44/4 = 0.36 A

功率

P = εI = 1.44·0.36 = 0.5184 W

答案

P = 518.4 mW

8.磁场与电磁感应

答案: ε = 4 V

自感电动势

电动势阻碍电流的变化（楞次定律），所以它的符号与 ΔI 相反；大小为 L·|ΔI|/Δt。

ε = L·ΔI/Δt = 0.005·4/0.005 = 4 V

答案

ε = 4 V

9.交流阻抗和相量

答案: I = 5.905 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·500·10·10⁻⁶) = 31.83 Ω

支路电流

两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。

I_R = V/R = 100/20 = 5 A

I_X = V/X_C = 100/31.83 = 3.142 A

总电流

电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。

I = √(I_R² + I_X²) = √(5² + 3.142²) = 5.905 A

答案

I = 5.905 A

10.交流阻抗和相量

答案: f₀ = 239.9 Hz

谐振

谐振时感抗和容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。与电源频率无关。

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.02·22·10⁻⁶)) = 239.9 Hz

答案

f₀ = 239.9 Hz

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