库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
三个点电荷位于一条直线上：左边为 +10 µC，右边相距 30 cm 处为 +2 µC，两者之间距左边电荷 18 cm 处为 +5 µC。求中间电荷所受合电场力 F 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
qL = +10 µCqR = +2 µCqM = +5 µCrL = 18 cmrR = 12 cm
F = N
2.库仑定律与电场困难
三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 10 µC 位于直角顶点，q₁ = 4 µC 沿一条直角边距它 3 cm，q₂ = 3 µC 沿另一条直角边距它 10 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。
q1 = 4 µCq2 = 3 µCq3 = 10 µCr13 = 3 cmr23 = 10 cm
F = N
3.串并联电阻中等
求流过 R2 的电流 IR2。
V1 = 10 VR1 = 6 ΩR2 = 3 ΩR3 = 3 ΩR4 = 5 Ω
IR2 = A
4.串并联电阻困难
求流过 R2 的电流 IR2。
V1 = 5 VR1 = 20 ΩR2 = 12 ΩR3 = 15 ΩR4 = 4 ΩR5 = 25 ΩR6 = 5 Ω
IR2 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求电路稳定后电感中储存的能量 W(∞)，以 mJ 表示。
Vs = 10 VR = 20 ΩL = 150 mH
W(∞) = mJ
6.RC 和 RL 暂态困难
跨接在 R2 两端的开关已闭合很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关断开。 求 t = 5 ms 时的电感电流 i。
Vs = 15 VR1 = 20 ΩR2 = 15 ΩL = 100 mHt = 5 ms
i = A
7.磁场与电磁感应中等
一个质子以 1.5 × 10⁵ m/s 的速度垂直进入均匀磁场，沿半径 1.566 cm 的圆运动。求磁感应强度 B。
m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cv = 1.5 × 10⁵ m/sr = 1.566 cm
B = T
8.磁场与电磁感应困难
一个 500 匝、12 cm × 15 cm 的线圈在 0.25 T 的均匀磁场中，以 300 rpm 绕垂直于磁场的轴转动。求峰值电动势 E0。
N = 500A = 12 cm × 15 cmB = 0.25 Tn = 300 rpm
E0 = V
9.交流阻抗和相量中等
一个串联 RLC 电路接在 120 V（有效值）、1000 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。
V = 120 V (rms)f = 1000 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 4.7 µF
I = A
10.交流阻抗和相量困难
一个串联 RLC 电路接在 50 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。
V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩL = 250 mHC = 22 µF
I = A
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: F = 7.63 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
每个电荷产生的力
向右为正。
FL = +k·10·5 × 10⁻¹²/0.18² = 13.87 N
FR = −k·2·5 × 10⁻¹²/0.12² = −6.243 N
合力
F = 13.87 + (−6.243) = 7.63 N → |F| = 7.63 N
答案
F = 7.63 N
合力向右。
2.库仑定律与电场
答案: F = 400.5 N
库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。
q₃ 所受的各个力
F1 = k·4·10 × 10⁻¹²/0.03² = 399.6 N
F2 = k·3·10 × 10⁻¹²/0.1² = 26.97 N
矢量和
F = √(399.6² + 26.97²) = 400.5 N
答案
F = 400.5 N
3.串并联电阻
答案: IR2 = 0.8889 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 3 + 5 = 8 Ω
R2 ∥ 8 = 3·8/(3+8) = 2.182 Ω
Req = R1 + 2.182 = 6 + 2.182 = 8.182 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 10/8.182 = 1.222 A
流过 R₂ 的电流
减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。
VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 1.222·6 = 2.667 V
IR2 = VA/R2 = 2.667/3 = 0.8889 A
答案
IR2 = 0.8889 A
4.串并联电阻
答案: IR2 = 0.1112 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 25 + 5 = 30 Ω
R4 ∥ 30 = 3.529 Ω
R3 + 3.529 = 18.53 Ω
R2 ∥ 18.53 = 7.283 Ω
Req = R1 + 7.283 = 20 + 7.283 = 27.28 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 5/27.28 = 0.1833 A
流过 R₂ 的电流
减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。
VA = V1 − IR1·R1 = 5 − 0.1833·20 = 1.335 V
IR2 = VA/R2 = 1.335/12 = 0.1112 A
答案
IR2 = 0.1112 A
5.RC 和 RL 暂态
答案: W(∞) = 18.75 mJ
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数和终值电流
开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。
τ = L/R = 150 mH / 20 Ω = 7.5 ms
i(∞) = Vs/R = 10/20 = 0.5 A
储存的能量
W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·150·0.5² = 18.75 mJ
答案
W(∞) = 18.75 mJ
6.RC 和 RL 暂态
答案: i = 0.4844 A
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
初始值、终值、时间常数
在 t = 0 之前，闭合的开关把 R₂ 旁路；之后 R₁ 和 R₂ 都在回路中。
i(0) = 15/20 = 0.75 A
i(∞) = 15/(20 + 15) = 0.4286 A
τ = L/R = 100/35 = 2.857 ms
i(t) = 0.4286 + (0.75 − 0.4286)·e−t/τ
给定时刻的电流
i(5) = 0.4286 + (0.3214)·e−5/2.857 = 0.4844 A
答案
i = 0.4844 A
7.磁场与电磁感应
答案: B = 0.1 T
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
由半径求磁场
B = mv/(|q|r) = 1.673 × 10⁻²⁷·1.5 × 10⁵/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.01566) = 0.1 T
答案
B = 0.1 T
8.磁场与电磁感应
答案: E0 = 70.69 V
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
角速度与面积
ω = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
A = 0.018 m²
峰值电动势
E₀ = NBAω = 500·0.25·0.018·31.42 = 70.69 V
答案
E0 = 70.69 V
9.交流阻抗和相量
答案: I = 0.2012 A
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0.1 = 628.3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·4.7·10⁻⁶) = 33.86 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (594.5)²) = 596.6 Ω
电流
串联电路中每个元件流过相同电流。
I = V/|Z| = 120/596.6 = 0.2012 A
答案
I = 0.2012 A
10.交流阻抗和相量
答案: I = 1.377 A
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.25 = 94.25 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120.6 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(25² + (−26.32)²) = 36.3 Ω
电流
串联电路中每个元件流过相同电流。
I = V/|Z| = 50/36.3 = 1.377 A
答案
I = 1.377 A
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