物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律
F = k·|q1q2|/r²
点电荷的电场
E = k·|q|/r²
常量
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力
F = q·E

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线
B = μ0I/(2πr)
平面线圈的中心
B = μ0NI/(2R)
长螺线管
B = μ0nI, n = N/L
常量
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力
F = BIL·sin θ
电荷所受的力
F = |q|vB·sin θ
圆周运动
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线
F/L = μ0I1I2/(2πd)
磁通量
Φ = BA·cos θ
法拉第定律
ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆
ε = BLv
发电机
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
电感
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
互感
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
速度选择器与质谱仪
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

  1. 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
  2. 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
  3. 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
  4. 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等
−−8 µC++5 µCr = 15 cm

两个相同的金属小球分别带有 −8 µC 和 +5 µC 的电荷。让它们接触后再放回相距 15 cm 处。求此时它们之间作用力 F 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = −8 µCq2 = +5 µCr = 15 cm
F = N
2.库仑定律与电场困难
10 cm5 cm+q1​ = +10 µC+q3​ = +3 µC+q2​ = +8 µC

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 3 µC 位于直角顶点，q₁ = 10 µC 沿一条直角边距它 10 cm，q₂ = 8 µC 沿另一条直角边距它 5 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q1 = 10 µCq2 = 8 µCq3 = 3 µCr13 = 10 cmr23 = 5 cm
F = N
3.串并联电阻中等
R1​ = 20 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​6 VR2​4 ΩIR2​AR4​4 ΩB

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 6 VR1 = 20 ΩR2 = 4 ΩR3 = 6 ΩR4 = 4 Ω
IR2 = A
4.串并联电阻困难
R1​ = 6 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​24 VR2​12 ΩAR4​5 ΩBR6​4 Ω

求电源 V1 看到的等效电阻 Req。

V1 = 24 VR1 = 6 ΩR2 = 12 ΩR3 = 6 ΩR4 = 5 ΩR5 = 30 ΩR6 = 4 Ω
Req = Ω
5.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​5 Vt = 0R = 50 ΩL220 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 开关闭合后多长时间电流达到终值的 80%？求 t。

Vs = 5 VR = 50 ΩL = 220 mH
t = ms
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​5 Vt = 0R = 6.8 kΩC10 µF+−vC​vC​(0) = 4 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 4 V，极性如图所示。 求 t = 200 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 5 VR = 6.8 kΩC = 10 µFvC(0) = 4 Vt = 200 ms
vC = V
7.磁场与电磁感应中等
IBF = ?

一根导线通有电流 向页面下方，穿过均匀磁场（磁场方向垂直穿出纸面）。点选导线所受磁力的方向。

I: 向页面下方B: 垂直穿出纸面
  1. 1向页面上方
  2. 2向右
  3. 3向页面下方
  4. 4向左
8.磁场与电磁感应困难
Bn = 900 rpm5 cm × 25 cmN = 150B = 0.3 T

一个 150 匝、5 cm × 25 cm 的线圈在 0.3 T 的均匀磁场中，以 900 rpm 绕垂直于磁场的轴转动。求电动势的有效值 Erms。

N = 150A = 5 cm × 25 cmB = 0.3 Tn = 900 rpm
Erms = V
9.交流阻抗和相量中等
50 V50 HzR = 10 ΩL = 250 mHC = 22 µF

一个串联 RLC 电路接在 50 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 10 ΩL = 250 mHC = 22 µF
φ = °
10.交流阻抗和相量困难
100 V60 HzR1​ = 50 ΩR2​ = 60 ΩC = 47 µF

电阻 R1 与 R2 和电容 C 的并联组合串联，接在 100 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求阻抗的模 |Z|。

V = 100 V (rms)f = 60 HzR1 = 50 ΩR2 = 60 ΩC = 47 µF
|Z| = Ω

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: F = 0.899 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

接触后的电荷

q′ = (−8 + 5)/2 = −1.5 µC

新的作用力

F = 8.99 × 10⁹·(1.5 × 10⁻⁶)²/0.15² = 0.899 N

答案

F = 0.899 N

现在两个小球带同种电荷，所以相互排斥。

2.库仑定律与电场

答案: F = 90.42 N

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

q₃ 所受的各个力

F1 = k·10·3 × 10⁻¹²/0.1² = 26.97 N
F2 = k·8·3 × 10⁻¹²/0.05² = 86.3 N

矢量和

F = √(26.97² + 86.3²) = 90.42 N

答案

F = 90.42 N
3.串并联电阻

答案: IR2 = 0.1875 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 20 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​6 VR2​4 ΩAR4​4 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 6 + 4 = 10 Ω
R2 ∥ 10 = 4·10/(4+10) = 2.857 Ω
Req = R1 + 2.857 = 20 + 2.857 = 22.86 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 6/22.86 = 0.2625 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 6 − 0.2625·20 = 0.75 V
IR2 = VA/R2 = 0.75/4 = 0.1875 A

答案

IR2 = 0.1875 A
4.串并联电阻

答案: Req = 11.56 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 6 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​24 VR2​12 ΩAR4​5 ΩBR6​4 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 30 + 4 = 34 Ω
R4 ∥ 34 = 4.359 Ω
R3 + 4.359 = 10.36 Ω
R2 ∥ 10.36 = 5.56 Ω
Req = R1 + 5.56 = 6 + 5.56 = 11.56 Ω

答案

Req = 11.56 Ω
5.RC 和 RL 暂态

答案: t = 7.082 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 220 mH / 50 Ω = 4.4 ms
i(∞) = Vs/R = 5/50 = 0.1 A

求解时间

0.8 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.8)
t = −4.4·ln(0.2) = 7.082 ms

答案

t = 7.082 ms
6.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 4.947 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 5 V
τ = R·C = 6.8 kΩ · 10 µF = 68 ms
vC(t) = 5 + (4 − 5)·e−t/τ

给定时刻的电压

vC(200) = 5 + (−1)·e−200/68 = 4.947 V

答案

vC = 4.947 V
7.磁场与电磁感应

答案: 向左

磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

右手定则

四指沿电流或速度方向，向 B 的方向弯曲；拇指指向正电荷所受的力。

I: 向页面下方, B: 垂直穿出纸面

力的方向

向左

答案

F: 向左
8.磁场与电磁感应

答案: Erms = 37.49 V

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

角速度与面积

ω = 2π·900/60 = 94.25 rad/s
A = 0.0125 m²

峰值电动势

E₀ = NBAω = 150·0.3·0.0125·94.25 = 53.01 V

有效值

Erms = 53.01/√2 = 37.49 V

答案

Erms = 37.49 V
9.交流阻抗和相量

答案: φ = −81.4 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.25 = 78.54 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·22·10⁻⁶) = 144.7 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(10² + (−66.15)²) = 66.9 Ω

相角

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−66.15/10) = −81.4°

答案

φ = −81.4°
10.交流阻抗和相量

答案: |Z| = 83.71 Ω

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XC = 1/(2π·60·47·10⁻⁶) = 56.44 Ω

并联组合

分子分母同乘以共轭复数，把 Zp 分成实部和虚部。

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 28.17 − j29.94 Ω

总阻抗

Z = 50 + 28.17 − j29.94 = 78.17 − j29.94 Ω
|Z| = √(78.17² + 29.94²) = 83.71 Ω

答案

|Z| = 83.71 Ω

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