物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

+8 µC 和 +6 µC 的两个电荷相距 50 cm。在两者之间的连线上，距 +8 µC 电荷多远 x 处电场为零？

q₁ = +8 µCq₂ = +6 µCd = 50 cm

x = cm

2.库仑定律与电场困难

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 4 µC 位于直角顶点，q₁ = 1 µC 沿一条直角边距它 6 cm，q₂ = 3 µC 沿另一条直角边距它 5 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q₁ = 1 µCq₂ = 3 µCq₃ = 4 µCr₁₃ = 6 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 4 Ω

I_R1 = A

4.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 18 VR₁ = 15 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 30 Ω

R_eq = Ω

5.RC 和 RL 暂态中等

电感中流过 2.5 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。求 t = 15 ms 时 R 两端的电压 v_R。

i(0) = 2.5 AR = 10 ΩL = 68 mHt = 15 ms

v_R = V

6.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 20 V，极性如图所示。 v_C 需要多长时间达到 15.5 V？求 t。

V_s = 5 VR = 10 kΩC = 22 µFv_C(0) = 20 V

t = ms

7.磁场与电磁感应中等

一根长 20 cm 的金属杆以 5 m/s 的速度沿两条导轨滑动，处于垂直进入纸面的 0.1 T 均匀磁场中。导轨之间接有 4 Ω 的电阻；杆和导轨的电阻可忽略。求电流 I。

B = 0.1 TL = 20 cmv = 5 m/sR = 4 Ω

I = mA

8.磁场与电磁感应困难

一个长空心螺线管有 1500 匝，长度为 25 cm，直径为 2.5 cm。当它通有 0.5 A 的电流时，求其磁场中储存的能量 W。

N = 1500l = 25 cm⌀ = 2.5 cmI = 0.5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = µJ

9.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 24 V（有效值）、50 Hz 的电源上。求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 24 V (rms)f = 50 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 47 µF

φ = °

10.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 120 V（有效值）、1000 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 120 V (rms)f = 1000 HzR = 10 ΩL = 20 mHC = 4.7 µF

I = A

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: x = 26.79 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

电场相等

8/x² = 6/(50 − x)²

(50 − x)/x = √(6/8) = 0.866

位置

x = 50/(1 + 0.866) = 26.79 cm

答案

x = 26.79 cm

零点总是更靠近较小的电荷。

2.库仑定律与电场

答案: F = 44.29 N

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

q₃ 所受的各个力

F₁ = k·1·4 × 10⁻¹²/0.06² = 9.989 N

F₂ = k·3·4 × 10⁻¹²/0.05² = 43.15 N

矢量和

F = √(9.989² + 43.15²) = 44.29 N

答案

F = 44.29 N

3.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.7143 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 4 + 4 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 8·8/(8+8) = 4 Ω

R_eq = R₁ + 4 = 10 + 4 = 14 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/14 = 0.7143 A

答案

I_R1 = 0.7143 A

4.串并联电阻

答案: R_eq = 19.25 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 5 + 30 = 35 Ω

R₄ ∥ 35 = 16.15 Ω

R₃ + 16.15 = 28.15 Ω

R₂ ∥ 28.15 = 4.246 Ω

R_eq = R₁ + 4.246 = 15 + 4.246 = 19.25 Ω

答案

R_eq = 19.25 Ω

5.RC 和 RL 暂态

答案: v_R = 2.754 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 68 mH / 10 Ω = 6.8 ms

电流的衰减

i(t) = 2.5·e^−15/6.8 = 0.2754 A

v_R = R·i = 10·0.2754 = 2.754 V

答案

v_R = 2.754 V

6.RC 和 RL 暂态

答案: t = 78.47 ms

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 20 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 10 kΩ · 22 µF = 220 ms

v_C(t) = 5 + (20 − 5)·e^−t/τ

求解时间

15.5 = 5 + (15)·e^−t/τ → e^−t/τ = (15.5 − 5)/(20 − 5) = 0.7

t = τ·ln((20 − 5)/(15.5 − 5)) = 220·ln(1.429) = 78.47 ms

答案

t = 78.47 ms

7.磁场与电磁感应

答案: I = 25 mA

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

动生电动势

ε = BLv = 0.1·0.2·5 = 0.1 V

电流

I = ε/R = 0.1/4 = 0.025 A

答案

I = 25 mA

8.磁场与电磁感应

答案: W = 694 µJ

自感

L = μ₀N²A/l = 5.552 mH

储存的能量

W = ½LI² = ½·0.005552·0.5² = 0.000694 J = 694 µJ

答案

W = 694 µJ

9.交流阻抗和相量

答案: φ = −67.55 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s

X_L = ωL = 314.2·0.1 = 31.42 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314.2·47·10⁻⁶) = 67.73 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (−36.31)²) = 39.29 Ω

相角

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−36.31/15) = −67.55°

答案

φ = −67.55°

10.交流阻抗和相量

答案: I = 1.299 A

电抗

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0.02 = 125.7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·4.7·10⁻⁶) = 33.86 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (91.8)²) = 92.34 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 120/92.34 = 1.299 A

答案

I = 1.299 A

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