物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

两个相同的金属小球分别带有 +1 µC 和 +4 µC 的电荷。让它们接触后再放回相距 10 cm 处。求此时它们之间作用力 F 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +1 µCq₂ = +4 µCr = 10 cm

F = N

2.库仑定律与电场困难

两个质量均为 10 g 的相同小球用长 80 cm 的绝缘细线悬挂在同一点。让它们带上等量电荷后，每根细线稳定在与竖直方向成 20° 的位置。取 g = 9.81 m/s²。求每个小球所带的电荷量 q，以 nC 表示。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 10 gL = 80 cmθ = 20°g = 9.81 m/s²

q = nC

3.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 10 VR₁ = 4 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

4.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 15 VR₁ = 3 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 25 Ω

R_eq = Ω

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。开关闭合后多长时间电流达到终值的 80%？求 t。

V_s = 6 VR = 47 ΩL = 47 mH

t = ms

6.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 2 V，极性如图所示。求 t = 30 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 20 VR = 1 kΩC = 68 µFv_C(0) = 2 Vt = 30 ms

v_C = V

7.磁场与电磁感应中等

一根长 20 cm 的金属杆以 6 m/s 的速度沿两条导轨滑动，处于垂直进入纸面的 0.1 T 均匀磁场中。求其两端之间的感应电动势 ε。

B = 0.1 TL = 20 cmv = 6 m/s

ε = mV

8.磁场与电磁感应困难

一个 100 mH 的电感中，电流在 1 ms 内从 2 A 均匀变化到 4 A。求自感电动势的大小 ε。

L = 100 mH2 A → 4 AΔt = 1 ms

ε = V

9.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、500 Hz 的电源上。求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 1 µF

φ = °

10.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、60 Hz 的电源上。求电路的谐振频率 f₀。

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 10 ΩL = 200 mHC = 100 µF

f₀ = Hz

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: F = 5.619 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

接触后的电荷

q′ = (1 + 4)/2 = 2.5 µC

新的作用力

F = 8.99 × 10⁹·(2.5 × 10⁻⁶)²/0.1² = 5.619 N

答案

F = 5.619 N

现在两个小球带同种电荷，所以相互排斥。

2.库仑定律与电场

答案: q = 1091 nC

由平衡求电场力

拉力的水平分量平衡 F，竖直分量平衡 m·g。

F = m·g·tan θ = 0.01·9.81·tan 20° = 0.03571 N

间距

r = 2·L·sin θ = 2·0.8·sin 20° = 0.5472 m

电荷量

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.5472·√(0.03571/8.99 × 10⁹) = 1.091 × 10⁻⁶ C = 1091 nC

答案

q = 1091 nC

3.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.328 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 2 + 10 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 5·12/(5+12) = 3.529 Ω

R_eq = R₁ + 3.529 = 4 + 3.529 = 7.529 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/7.529 = 1.328 A

答案

I_R1 = 1.328 A

4.串并联电阻

答案: R_eq = 4.865 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 8 + 25 = 33 Ω

R₄ ∥ 33 = 7.674 Ω

R₃ + 7.674 = 27.67 Ω

R₂ ∥ 27.67 = 1.865 Ω

R_eq = R₁ + 1.865 = 3 + 1.865 = 4.865 Ω

答案

R_eq = 4.865 Ω

5.RC 和 RL 暂态

答案: t = 1.609 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 47 mH / 47 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 6/47 = 0.1277 A

求解时间

0.8 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.8)

t = −1·ln(0.2) = 1.609 ms

答案

t = 1.609 ms

6.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 8.421 V

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 2 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 1 kΩ · 68 µF = 68 ms

v_C(t) = 20 + (2 − 20)·e^−t/τ

给定时刻的电压

v_C(30) = 20 + (−18)·e^−30/68 = 8.421 V

答案

v_C = 8.421 V

7.磁场与电磁感应

答案: ε = 120 mV

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

动生电动势

ε = BLv = 0.1·0.2·6 = 0.12 V

答案

ε = 120 mV

8.磁场与电磁感应

答案: ε = 200 V

自感电动势

电动势阻碍电流的变化（楞次定律），所以它的符号与 ΔI 相反；大小为 L·|ΔI|/Δt。

ε = L·ΔI/Δt = 0.1·2/0.001 = 200 V

答案

ε = 200 V

9.交流阻抗和相量

答案: φ = −79.46 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.05 = 157.1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318.3 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−161.2)²) = 164 Ω

相角

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−161.2/30) = −79.46°

答案

φ = −79.46°

10.交流阻抗和相量

答案: f₀ = 35.59 Hz

谐振

谐振时感抗和容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。与电源频率无关。

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.2·100·10⁻⁶)) = 35.59 Hz

答案

f₀ = 35.59 Hz

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