库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
三个点电荷位于一条直线上：左边为 +5 µC，右边相距 20 cm 处为 +2 µC，两者之间距左边电荷 5 cm 处为 +6 µC。求中间电荷所受合电场力 F 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
qL = +5 µCqR = +2 µCqM = +6 µCrL = 5 cmrR = 15 cm
F = N
2.库仑定律与电场困难
两个质量均为 5 g 的相同小球用长 50 cm 的绝缘细线悬挂在同一点。让它们带上等量电荷后，每根细线稳定在与竖直方向成 8° 的位置。取 g = 9.81 m/s²。求每个小球所带的电荷量 q，以 nC 表示。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
m = 5 gL = 50 cmθ = 8°g = 9.81 m/s²
q = nC
3.串并联电阻中等
求流过 R2 的电流 IR2。
V1 = 9 VR1 = 6 ΩR2 = 20 ΩR3 = 5 ΩR4 = 6 Ω
IR2 = A
4.串并联电阻困难
求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。
V1 = 6 VR1 = 20 ΩR2 = 4 ΩR3 = 2 ΩR4 = 5 ΩR5 = 20 ΩR6 = 15 Ω
IR1 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 5 ms 时电感两端的电压 vL。
Vs = 15 VR = 33 ΩL = 100 mHt = 5 ms
vL = V
6.RC 和 RL 暂态困难
跨接在 R2 两端的开关已闭合很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关断开。 求 t = 5 ms 时的电感电流 i。
Vs = 9 VR1 = 5 ΩR2 = 5 ΩL = 22 mHt = 5 ms
i = A
7.磁场与电磁感应中等
一个 100 匝、面积 40 cm²、电阻 8 Ω 的线圈构成闭合回路。垂直于线圈的均匀磁场在 100 ms 内从 0 T 均匀增大到 0.1 T。 求平均感应电流 I。
N = 100A = 40 cm²B: 0 T → 0.1 TΔt = 100 msR = 8 Ω
I = mA
8.磁场与电磁感应困难
一个质子不发生偏转地通过正交电场 E = 8 × 10⁴ V/m 和磁场 B₁ = 0.2 T 的速度选择器。然后它垂直进入只有磁场 B₂ = 0.2 T 的第二个区域。求它在该区域中轨迹的半径 r。
E = 8 × 10⁴ V/mB1 = 0.2 TB2 = 0.2 Tm = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ C
r = cm
9.交流阻抗和相量中等
一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求电路的功率因数 cos φ。
V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 25 ΩL = 200 mHC = 22 µF
cos φ =
10.交流阻抗和相量困难
一个 RLC 串联电路由 5 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 VL。
V = 5 V (rms)R = 50 ΩL = 20 mHC = 2.2 µF
VL = V
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: F = 103.1 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
每个电荷产生的力
向右为正。
FL = +k·5·6 × 10⁻¹²/0.05² = 107.9 N
FR = −k·2·6 × 10⁻¹²/0.15² = −4.795 N
合力
F = 107.9 + (−4.795) = 103.1 N → |F| = 103.1 N
答案
F = 103.1 N
合力向右。
2.库仑定律与电场
答案: q = 121.9 nC
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
由平衡求电场力
拉力的水平分量平衡 F，竖直分量平衡 m·g。
F = m·g·tan θ = 0.005·9.81·tan 8° = 0.006894 N
间距
r = 2·L·sin θ = 2·0.5·sin 8° = 0.1392 m
电荷量
F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.1392·√(0.006894/8.99 × 10⁹) = 1.219 × 10⁻⁷ C = 121.9 nC
答案
q = 121.9 nC
3.串并联电阻
答案: IR2 = 0.2438 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 5 + 6 = 11 Ω
R2 ∥ 11 = 20·11/(20+11) = 7.097 Ω
Req = R1 + 7.097 = 6 + 7.097 = 13.1 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 9/13.1 = 0.6872 A
流过 R₂ 的电流
减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。
VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 0.6872·6 = 4.877 V
IR2 = VA/R2 = 4.877/20 = 0.2438 A
答案
IR2 = 0.2438 A
4.串并联电阻
答案: IR1 = 0.2672 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 20 + 15 = 35 Ω
R4 ∥ 35 = 4.375 Ω
R3 + 4.375 = 6.375 Ω
R2 ∥ 6.375 = 2.458 Ω
Req = R1 + 2.458 = 20 + 2.458 = 22.46 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 6/22.46 = 0.2672 A
答案
IR1 = 0.2672 A
5.RC 和 RL 暂态
答案: vL = 2.881 V
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数和终值电流
开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。
τ = L/R = 100 mH / 33 Ω = 3.03 ms
i(∞) = Vs/R = 15/33 = 0.4545 A
电感电压
t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。
vL(t) = Vs·e−t/τ = 15·e−5/3.03 = 2.881 V
答案
vL = 2.881 V
6.RC 和 RL 暂态
答案: i = 0.9927 A
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
初始值、终值、时间常数
在 t = 0 之前，闭合的开关把 R₂ 旁路；之后 R₁ 和 R₂ 都在回路中。
i(0) = 9/5 = 1.8 A
i(∞) = 9/(5 + 5) = 0.9 A
τ = L/R = 22/10 = 2.2 ms
i(t) = 0.9 + (1.8 − 0.9)·e−t/τ
给定时刻的电流
i(5) = 0.9 + (0.9)·e−5/2.2 = 0.9927 A
答案
i = 0.9927 A
7.磁场与电磁感应
答案: I = 50 mA
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
每匝的磁通量变化
ΔΦ = (0.1 − 0)·0.004 = 0.0004 Wb
平均电动势
ε = NΔΦ/Δt = 100·0.0004/0.1 = 0.4 V
电流
I = ε/R = 0.4/8 = 0.05 A
答案
I = 50 mA
8.磁场与电磁感应
答案: r = 2.089 cm
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
选出的速率
不偏转：电力 qE 与磁力 qvB 平衡。
v = E/B1 = 8 × 10⁴/0.2 = 400000 m/s
第二个磁场中的半径
r = mv/(|q|B2) = 0.02089 m = 2.089 cm
答案
r = 2.089 cm
9.交流阻抗和相量
答案: cos φ = 0.4245
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
XL = 125.7 Ω, XC = 72.34 Ω
阻抗
|Z| = √(25² + (53.32)²) = 58.89 Ω
功率因数
cos φ = R/|Z| = 25/58.89 = 0.4245
电路是感性的，所以功率因数滞后。
答案
cos φ = 0.4245
10.交流阻抗和相量
答案: VL = 9.535 V
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
谐振
谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.02·2.2·10⁻⁶) = 4767 rad/s
I = V/R = 5/50 = 0.1 A
电感两端的电压
XL = ω₀L = 4767·0.02 = 95.35 Ω
VL = I·XL = 0.1·95.35 = 9.535 V
答案
VL = 9.535 V
这是电源电压的 Q = 1.907 倍。
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