物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

+8 µC 和 +3 µC 的两个电荷相距 40 cm。在两者之间的连线上，距 +8 µC 电荷多远 x 处电场为零？

q₁ = +8 µCq₂ = +3 µCd = 40 cm

x = cm

2.库仑定律与电场困难

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 8 µC 位于直角顶点，q₁ = 10 µC 沿一条直角边距它 5 cm，q₂ = 4 µC 沿另一条直角边距它 5 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q₁ = 10 µCq₂ = 4 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 5 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 10 VR₁ = 3 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 20 Ω

I_R2 = A

4.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 36 VR₁ = 30 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 5 Ω

I_R1 = A

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。开关闭合后多长时间电流达到终值的 75%？求 t。

V_s = 10 VR = 20 ΩL = 22 mH

t = ms

6.RC 和 RL 暂态困难

跨接在 R₂ 两端的开关已断开很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关闭合，把 R₂ 短路。求 t = 5 ms 时的电感电流 i。

V_s = 12 VR₁ = 22 ΩR₂ = 5 ΩL = 150 mHt = 5 ms

i = A

7.磁场与电磁感应中等

一个质子以 1.5 × 10⁶ m/s 的速度垂直于 0.25 T 的均匀磁场运动。求其圆形轨迹的半径 r。

m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cv = 1.5 × 10⁶ m/sB = 0.25 T

r = cm

8.磁场与电磁感应困难

一个长空心螺线管有 400 匝，长度为 40 cm，直径为 1 cm。当它通有 1.5 A 的电流时，求其磁场中储存的能量 W。

N = 400l = 40 cm⌀ = 1 cmI = 1.5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = µJ

9.交流阻抗和相量中等

一个电阻和一个电容并联接在 24 V（有效值）、500 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 15 ΩC = 22 µF

I = A

10.交流阻抗和相量困难

一个 RLC 串联电路由 2 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 V_L。

V = 2 V (rms)R = 5 ΩL = 5 mHC = 1 µF

V_L = V

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: x = 24.81 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

电场相等

8/x² = 3/(40 − x)²

(40 − x)/x = √(3/8) = 0.6124

位置

x = 40/(1 + 0.6124) = 24.81 cm

答案

x = 24.81 cm

零点总是更靠近较小的电荷。

2.库仑定律与电场

答案: F = 309.8 N

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

q₃ 所受的各个力

F₁ = k·10·8 × 10⁻¹²/0.05² = 287.7 N

F₂ = k·4·8 × 10⁻¹²/0.05² = 115.1 N

矢量和

F = √(287.7² + 115.1²) = 309.8 N

答案

F = 309.8 N

3.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.6061 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 4 + 20 = 24 Ω

R₂ ∥ 24 = 12·24/(12+24) = 8 Ω

R_eq = R₁ + 8 = 3 + 8 = 11 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/11 = 0.9091 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0.9091·3 = 7.273 V

I_R2 = V_A/R₂ = 7.273/12 = 0.6061 A

答案

I_R2 = 0.6061 A

4.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.8752 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 30 + 5 = 35 Ω

R₄ ∥ 35 = 5.122 Ω

R₃ + 5.122 = 25.12 Ω

R₂ ∥ 25.12 = 11.14 Ω

R_eq = R₁ + 11.14 = 30 + 11.14 = 41.14 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 36/41.14 = 0.8752 A

答案

I_R1 = 0.8752 A

5.RC 和 RL 暂态

答案: t = 1.525 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 22 mH / 20 Ω = 1.1 ms

i(∞) = V_s/R = 10/20 = 0.5 A

求解时间

0.75 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.75)

t = −1.1·ln(0.25) = 1.525 ms

答案

t = 1.525 ms

6.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.4969 A

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，两个电阻都在回路中；之后闭合的开关把 R₂ 旁路。

i(0) = 12/(22 + 5) = 0.4444 A

i(∞) = 12/22 = 0.5455 A

τ = L/R = 150/22 = 6.818 ms

i(t) = 0.5455 + (0.4444 − 0.5455)·e^−t/τ

给定时刻的电流

i(5) = 0.5455 + (−0.101)·e^−5/6.818 = 0.4969 A

答案

i = 0.4969 A

7.磁场与电磁感应

答案: r = 6.266 cm

磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

力的平衡

磁力总是垂直于速度，所以它使轨迹弯曲成圆。

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

半径

r = 1.673 × 10⁻²⁷·1.5 × 10⁶/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.25) = 0.06266 m = 6.266 cm

答案

r = 6.266 cm

8.磁场与电磁感应

答案: W = 44.41 µJ

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

自感

L = μ₀N²A/l = 39.48 µH

储存的能量

W = ½LI² = ½·3.948 × 10⁻⁵·1.5² = 4.441 × 10⁻⁵ J = 44.41 µJ

答案

W = 44.41 µJ

9.交流阻抗和相量

答案: I = 2.305 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·500·22·10⁻⁶) = 14.47 Ω

支路电流

两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。

I_R = V/R = 24/15 = 1.6 A

I_X = V/X_C = 24/14.47 = 1.659 A

总电流

电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。

I = √(I_R² + I_X²) = √(1.6² + 1.659²) = 2.305 A

答案

I = 2.305 A

10.交流阻抗和相量

答案: V_L = 28.28 V

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.005·1·10⁻⁶) = 14142 rad/s

I = V/R = 2/5 = 0.4 A

电感两端的电压

X_L = ω₀L = 14142·0.005 = 70.71 Ω

V_L = I·X_L = 0.4·70.71 = 28.28 V

答案

V_L = 28.28 V

这是电源电压的 Q = 14.14 倍。

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