物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

一个 +2 µC 的电荷与一个 −1 µC 的电荷相距 60 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 45 cm。求 P 点电场强度的大小 E。

q₁ = +2 µCq₂ = −1 µCr₁ = 45 cmr₂ = 15 cm

E = N/C

2.库仑定律与电场困难

两个质量均为 2 g 的相同小球用长 80 cm 的绝缘细线悬挂在同一点。让它们带上等量电荷后，每根细线稳定在与竖直方向成 20° 的位置。取 g = 9.81 m/s²。求每个小球所带的电荷量 q，以 nC 表示。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 2 gL = 80 cmθ = 20°g = 9.81 m/s²

q = nC

3.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 6 VR₁ = 15 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 3 Ω

I_R2 = A

4.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 30 VR₁ = 8 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 2 Ω

R_eq = Ω

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 5 ms 时电感两端的电压 v_L。

V_s = 5 VR = 10 ΩL = 68 mHt = 5 ms

v_L = V

6.RC 和 RL 暂态困难

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。求 t = 200 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 20 VR₁ = 6.8 kΩR₂ = 6.8 kΩC = 22 µFt = 200 ms

v_C = V

7.磁场与电磁感应中等

一个圆形回路位于磁场方向为垂直进入纸面的均匀磁场中。磁场强度正在减小。点选图中所见的回路感应电流方向。

B: 垂直进入纸面dB/dt < 0

1顺时针
2逆时针

8.磁场与电磁感应困难

一个质子不发生偏转地通过正交电场 E = 8 × 10⁴ V/m 和磁场 B₁ = 0.5 T 的速度选择器。然后它垂直进入只有磁场 B₂ = 1 T 的第二个区域。求它在该区域中轨迹的半径 r。

E = 8 × 10⁴ V/mB₁ = 0.5 TB₂ = 1 Tm = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.交流阻抗和相量中等

一个 C = 2.2 µF 的 RLC 串联电路必须在 500 Hz 发生谐振。求所需的电感 L。

f₀ = 500 HzC = 2.2 µF

L = mH

10.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、1000 Hz 的电源上。求电容两端电压的有效值 V_C。

V = 100 V (rms)f = 1000 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 4.7 µF

V_C = V

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: E = 488346 N/C

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

各电荷的电场

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0.45² = 88790 N/C

E₂ = k·1 × 10⁻⁶/0.15² = 399556 N/C

方向与合成

第一个电场背离正电荷，第二个电场指向负电荷：两者方向相同。

E = |88790 + 399556| = 488346 N/C

答案

E = 488346 N/C

2.库仑定律与电场

答案: q = 487.7 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

由平衡求电场力

拉力的水平分量平衡 F，竖直分量平衡 m·g。

F = m·g·tan θ = 0.002·9.81·tan 20° = 0.007141 N

间距

r = 2·L·sin θ = 2·0.8·sin 20° = 0.5472 m

电荷量

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.5472·√(0.007141/8.99 × 10⁹) = 4.877 × 10⁻⁷ C = 487.7 nC

答案

q = 487.7 nC

3.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.09655 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 4 + 3 = 7 Ω

R₂ ∥ 7 = 15·7/(15+7) = 4.773 Ω

R_eq = R₁ + 4.773 = 15 + 4.773 = 19.77 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 6/19.77 = 0.3034 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0.3034·15 = 1.448 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1.448/15 = 0.09655 A

答案

I_R2 = 0.09655 A

4.串并联电阻

答案: R_eq = 9.82 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 25 + 2 = 27 Ω

R₄ ∥ 27 = 14.21 Ω

R₃ + 14.21 = 20.21 Ω

R₂ ∥ 20.21 = 1.82 Ω

R_eq = R₁ + 1.82 = 8 + 1.82 = 9.82 Ω

答案

R_eq = 9.82 Ω

5.RC 和 RL 暂态

答案: v_L = 2.397 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 68 mH / 10 Ω = 6.8 ms

i(∞) = V_s/R = 5/10 = 0.5 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 5·e^−5/6.8 = 2.397 V

答案

v_L = 2.397 V

6.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 2.627 V

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

v_C(0) = 20·6.8/(6.8 + 6.8) = 10 V

开关断开后的时间常数

τ = R₂·C = 6.8·22 = 149.6 ms

放电

v_C(t) = 10·e^−200/149.6 = 2.627 V

答案

v_C = 2.627 V

7.磁场与电磁感应

答案: 顺时针

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

磁通量的变化

穿出纸面的磁通量增大，或进入纸面的磁通量减小。

感应电流的磁场

感应电流阻碍这一变化。

回路内部的感应磁场：进入纸面。

电流的方向

右手螺旋定则：逆时针电流在回路内部产生穿出纸面的磁场。

顺时针

答案

顺时针

8.磁场与电磁感应

答案: r = 0.1671 cm

磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

选出的速率

不偏转：电力 qE 与磁力 qvB 平衡。

v = E/B₁ = 8 × 10⁴/0.5 = 160000 m/s

第二个磁场中的半径

r = mv/(|q|B₂) = 0.001671 m = 0.1671 cm

答案

r = 0.1671 cm

9.交流阻抗和相量

答案: L = 46.06 mH

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振条件

谐振时感抗与容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。

ω₀ = 2π·500 = 3142 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(3142²·2.2·10⁻⁶) = 46.06 mH

答案

L = 46.06 mH

10.交流阻抗和相量

答案: V_C = 30.88 V

电抗

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0.02 = 125.7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·4.7·10⁻⁶) = 33.86 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (91.8)²) = 109.7 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 100/109.7 = 0.9118 A

电容电压

V_C = I·X_C = 0.9118·33.86 = 30.88 V

答案

V_C = 30.88 V

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