库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
+2 µC 和 +1 µC 的两个电荷相距 10 cm。在两者之间的连线上，距 +2 µC 电荷多远 x 处电场为零？
q1 = +2 µCq2 = +1 µCd = 10 cm
x = cm
2.库仑定律与电场困难
两个质量均为 3 g 的相同小球用长 60 cm 的绝缘细线悬挂在同一点。让它们带上等量电荷后，每根细线稳定在与竖直方向成 8° 的位置。取 g = 9.81 m/s²。求每个小球所带的电荷量 q，以 nC 表示。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
m = 3 gL = 60 cmθ = 8°g = 9.81 m/s²
q = nC
3.串并联电阻中等
求流过 R2 的电流 IR2。
V1 = 9 VR1 = 3 ΩR2 = 3 ΩR3 = 8 ΩR4 = 5 Ω
IR2 = A
4.串并联电阻困难
求电源 V1 看到的等效电阻 Req。
V1 = 18 VR1 = 25 ΩR2 = 30 ΩR3 = 5 ΩR4 = 5 ΩR5 = 5 ΩR6 = 12 Ω
Req = Ω
5.RC 和 RL 暂态中等
电感中流过 1.5 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。 求 t = 1 ms 时的电流 i。
i(0) = 1.5 AR = 15 ΩL = 22 mHt = 1 ms
i = A
6.RC 和 RL 暂态困难
开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。 求 t = 750 ms 时的电容电压 vC。
Vs = 30 VR1 = 6.8 kΩR2 = 10 kΩC = 100 µFt = 750 ms
vC = V
7.磁场与电磁感应中等
一个 200 匝、面积 20 cm²、电阻 4 Ω 的线圈构成闭合回路。垂直于线圈的均匀磁场在 20 ms 内从 0.1 T 均匀增大到 0.2 T。 求平均感应电流 I。
N = 200A = 20 cm²B: 0.1 T → 0.2 TΔt = 20 msR = 4 Ω
I = mA
8.磁场与电磁感应困难
一个长空心螺线管有 1000 匝，长度为 25 cm，直径为 1.5 cm。求它的自感 L。
N = 1000l = 25 cm⌀ = 1.5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
L = µH
9.交流阻抗和相量中等
一个串联 RLC 电路接在 50 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。
V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 250 mHC = 10 µF
φ = °
10.交流阻抗和相量困难
一个串联 RLC 电路接在 120 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求电容两端电压的有效值 VC。
V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 10 µF
VC = V
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: x = 5.858 cm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
电场相等
2/x² = 1/(10 − x)²
(10 − x)/x = √(1/2) = 0.7071
位置
x = 10/(1 + 0.7071) = 5.858 cm
答案
x = 5.858 cm
零点总是更靠近较小的电荷。
2.库仑定律与电场
答案: q = 113.3 nC
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
由平衡求电场力
拉力的水平分量平衡 F，竖直分量平衡 m·g。
F = m·g·tan θ = 0.003·9.81·tan 8° = 0.004136 N
间距
r = 2·L·sin θ = 2·0.6·sin 8° = 0.167 m
电荷量
F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.167·√(0.004136/8.99 × 10⁹) = 1.133 × 10⁻⁷ C = 113.3 nC
答案
q = 113.3 nC
3.串并联电阻
答案: IR2 = 1.345 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 8 + 5 = 13 Ω
R2 ∥ 13 = 3·13/(3+13) = 2.438 Ω
Req = R1 + 2.438 = 3 + 2.438 = 5.438 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 9/5.438 = 1.655 A
流过 R₂ 的电流
减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。
VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 1.655·3 = 4.034 V
IR2 = VA/R2 = 4.034/3 = 1.345 A
答案
IR2 = 1.345 A
4.串并联电阻
答案: Req = 31.84 Ω
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 5 + 12 = 17 Ω
R4 ∥ 17 = 3.864 Ω
R3 + 3.864 = 8.864 Ω
R2 ∥ 8.864 = 6.842 Ω
Req = R1 + 6.842 = 25 + 6.842 = 31.84 Ω
答案
Req = 31.84 Ω
5.RC 和 RL 暂态
答案: i = 0.7585 A
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数
τ = L/R = 22 mH / 15 Ω = 1.467 ms
电流的衰减
i(t) = 1.5·e−1/1.467 = 0.7585 A
答案
i = 0.7585 A
6.RC 和 RL 暂态
答案: vC = 8.435 V
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
电容的初始电压
稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。
vC(0) = 30·10/(6.8 + 10) = 17.86 V
开关断开后的时间常数
τ = R2·C = 10·100 = 1000 ms
放电
vC(t) = 17.86·e−750/1000 = 8.435 V
答案
vC = 8.435 V
7.磁场与电磁感应
答案: I = 500 mA
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
每匝的磁通量变化
ΔΦ = (0.2 − 0.1)·0.002 = 0.0002 Wb
平均电动势
ε = NΔΦ/Δt = 200·0.0002/0.02 = 2 V
电流
I = ε/R = 2/4 = 0.5 A
答案
I = 500 mA
8.磁场与电磁感应
答案: L = 888.3 µH
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
横截面
A = π·(0.0075)² = 0.0001767 m²
自感
L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·1000²·0.0001767/0.25 = 0.0008883 H = 888.3 µH
答案
L = 888.3 µH
9.交流阻抗和相量
答案: φ = −64.93 °
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.25 = 94.25 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265.3 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (−171)²) = 188.8 Ω
相角
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−171/80) = −64.93°
答案
φ = −64.93°
10.交流阻抗和相量
答案: VC = 137.5 V
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.15 = 56.55 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265.3 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (−208.7)²) = 231.4 Ω
电流
串联电路中每个元件流过相同电流。
I = V/|Z| = 120/231.4 = 0.5185 A
电容电压
VC = I·XC = 0.5185·265.3 = 137.5 V
答案
VC = 137.5 V
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