物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

一个 +8 µC 的电荷与一个 −4 µC 的电荷相距 20 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 5 cm。求 P 点电场强度的大小 E。

q₁ = +8 µCq₂ = −4 µCr₁ = 5 cmr₂ = 15 cm

E = N/C

2.库仑定律与电场困难

两个质量均为 1 g 的相同小球用长 100 cm 的绝缘细线悬挂在同一点。让它们带上等量电荷后，每根细线稳定在与竖直方向成 20° 的位置。取 g = 9.81 m/s²。求每个小球所带的电荷量 q，以 nC 表示。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 1 gL = 100 cmθ = 20°g = 9.81 m/s²

q = nC

3.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 18 VR₁ = 3 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 8 Ω

R_eq = Ω

4.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 36 VR₁ = 30 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 20 Ω

R_eq = Ω

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 10 ms 时的电流 i。

V_s = 24 VR = 20 ΩL = 150 mHt = 10 ms

i = A

6.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 18 V，极性如图所示。求 t = 75 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 12 VR = 6.8 kΩC = 33 µFv_C(0) = 18 Vt = 75 ms

v_C = V

7.磁场与电磁感应中等

一个电子以 1 × 10⁶ m/s 的速度垂直于 1 mT 的均匀磁场运动。求其圆形轨迹的半径 r。

m = 9.109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cv = 1 × 10⁶ m/sB = 1 mT

r = cm

8.磁场与电磁感应困难

一个长空心螺线管有 800 匝，长度为 20 cm，直径为 4 cm。求它的自感 L。

N = 800l = 20 cm⌀ = 4 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = mH

9.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 24 V（有效值）、60 Hz 的电源上。求从电源吸取的有功功率 P。

V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 22 µF

P = W

10.交流阻抗和相量困难

一个 RLC 串联电路由 5 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 V_L。

V = 5 V (rms)R = 15 ΩL = 100 mHC = 1 µF

V_L = V

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: E = 3.037 × 10⁷ N/C

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

各电荷的电场

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0.05² = 2.877 × 10⁷ N/C

E₂ = k·4 × 10⁻⁶/0.15² = 1.598 × 10⁶ N/C

方向与合成

第一个电场背离正电荷，第二个电场指向负电荷：两者方向相同。

E = |2.877 × 10⁷ + 1.598 × 10⁶| = 3.037 × 10⁷ N/C

答案

E = 3.037 × 10⁷ N/C

2.库仑定律与电场

答案: q = 431.1 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

由平衡求电场力

拉力的水平分量平衡 F，竖直分量平衡 m·g。

F = m·g·tan θ = 0.001·9.81·tan 20° = 0.003571 N

间距

r = 2·L·sin θ = 2·1·sin 20° = 0.684 m

电荷量

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.684·√(0.003571/8.99 × 10⁹) = 4.311 × 10⁻⁷ C = 431.1 nC

答案

q = 431.1 nC

3.串并联电阻

答案: R_eq = 10.37 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 20 + 8 = 28 Ω

R₂ ∥ 28 = 10·28/(10+28) = 7.368 Ω

R_eq = R₁ + 7.368 = 3 + 7.368 = 10.37 Ω

答案

R_eq = 10.37 Ω

4.串并联电阻

答案: R_eq = 35.11 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 8 + 20 = 28 Ω

R₄ ∥ 28 = 4.242 Ω

R₃ + 4.242 = 34.24 Ω

R₂ ∥ 34.24 = 5.105 Ω

R_eq = R₁ + 5.105 = 30 + 5.105 = 35.11 Ω

答案

R_eq = 35.11 Ω

5.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.8837 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 150 mH / 20 Ω = 7.5 ms

i(∞) = V_s/R = 24/20 = 1.2 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 1.2·(1 − e^−10/7.5) = 0.8837 A

答案

i = 0.8837 A

6.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 16.3 V

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 6.8 kΩ · 33 µF = 224.4 ms

v_C(t) = 12 + (18 − 12)·e^−t/τ

给定时刻的电压

v_C(75) = 12 + (6)·e^−75/224.4 = 16.3 V

答案

v_C = 16.3 V

7.磁场与电磁感应

答案: r = 0.5686 cm

磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

力的平衡

磁力总是垂直于速度，所以它使轨迹弯曲成圆。

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

半径

r = 9.109 × 10⁻³¹·1 × 10⁶/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.001) = 0.005686 m = 0.5686 cm

答案

r = 0.5686 cm

8.磁场与电磁感应

答案: L = 5.053 mH

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

横截面

A = π·(0.02)² = 0.001257 m²

自感

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·800²·0.001257/0.2 = 0.005053 H = 5.053 mH

答案

L = 5.053 mH

9.交流阻抗和相量

答案: P = 3.415 W

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

X_L = 37.7 Ω, X_C = 120.6 Ω

阻抗

|Z| = √(100² + (−82.87)²) = 129.9 Ω

有功功率

电感和电容只储存和释放能量；全部有功功率都由电阻吸收。

I = 24/129.9 = 0.1848 A

P = I²·R = 0.1848²·100 = 3.415 W

答案

P = 3.415 W

10.交流阻抗和相量

答案: V_L = 105.4 V

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.1·1·10⁻⁶) = 3162 rad/s

I = V/R = 5/15 = 0.3333 A

电感两端的电压

X_L = ω₀L = 3162·0.1 = 316.2 Ω

V_L = I·X_L = 0.3333·316.2 = 105.4 V

答案

V_L = 105.4 V

这是电源电压的 Q = 21.08 倍。

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