物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

三个点电荷位于一条直线上：左边为 −10 µC，右边相距 20 cm 处为 −8 µC，两者之间距左边电荷 8 cm 处为 −4 µC。求中间电荷所受合电场力 F 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −10 µCq_R = −8 µCq_M = −4 µCr_L = 8 cmr_R = 12 cm

F = N

2.库仑定律与电场困难

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 1 µC 位于直角顶点，q₁ = 2 µC 沿一条直角边距它 4 cm，q₂ = 8 µC 沿另一条直角边距它 10 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q₁ = 2 µCq₂ = 8 µCq₃ = 1 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 9 VR₁ = 12 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 4 Ω

I_R1 = A

4.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 18 VR₁ = 4 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 25 Ω

I_R1 = A

5.RC 和 RL 暂态中等

电感中流过 3 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。电流降到 0.6 A 需要多长时间？求 t。

i(0) = 3 AR = 20 ΩL = 33 mH

t = ms

6.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 30 V，极性如图所示。 v_C 需要多长时间达到 22.5 V？求 t。

V_s = 5 VR = 1 kΩC = 220 µFv_C(0) = 30 V

t = ms

7.磁场与电磁感应中等

一个 250 匝、面积 25 cm²、电阻 8 Ω 的线圈构成闭合回路。垂直于线圈的均匀磁场在 50 ms 内从 0.2 T 均匀增大到 0.7 T。求平均感应电流 I。

N = 250A = 25 cm²B: 0.2 T → 0.7 TΔt = 50 msR = 8 Ω

I = mA

8.磁场与电磁感应困难

一个 100 mH 的电感中，电流在 50 ms 内从 0.5 A 均匀变化到 4.5 A。求自感电动势的大小 ε。

L = 100 mH0.5 A → 4.5 AΔt = 50 ms

ε = V

9.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 24 V（有效值）、200 Hz 的电源上。求从电源吸取的有功功率 P。

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 22 µF

P = W

10.交流阻抗和相量困难

一个 RLC 串联电路由 12 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 V_L。

V = 12 V (rms)R = 10 ΩL = 100 mHC = 1 µF

V_L = V

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: F = 36.21 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

每个电荷产生的力

向右为正。

F_L = +k·10·4 × 10⁻¹²/0.08² = 56.19 N

F_R = −k·8·4 × 10⁻¹²/0.12² = −19.98 N

合力

F = 56.19 + (−19.98) = 36.21 N → |F| = 36.21 N

答案

F = 36.21 N

合力向右。

2.库仑定律与电场

答案: F = 13.34 N

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

q₃ 所受的各个力

F₁ = k·2·1 × 10⁻¹²/0.04² = 11.24 N

F₂ = k·8·1 × 10⁻¹²/0.1² = 7.192 N

矢量和

F = √(11.24² + 7.192²) = 13.34 N

答案

F = 13.34 N

3.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.5881 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 15 + 4 = 19 Ω

R₂ ∥ 19 = 4·19/(4+19) = 3.304 Ω

R_eq = R₁ + 3.304 = 12 + 3.304 = 15.3 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 9/15.3 = 0.5881 A

答案

I_R1 = 0.5881 A

4.串并联电阻

答案: I_R1 = 3.086 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 3 + 25 = 28 Ω

R₄ ∥ 28 = 1.867 Ω

R₃ + 1.867 = 21.87 Ω

R₂ ∥ 21.87 = 1.832 Ω

R_eq = R₁ + 1.832 = 4 + 1.832 = 5.832 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 18/5.832 = 3.086 A

答案

I_R1 = 3.086 A

5.RC 和 RL 暂态

答案: t = 2.656 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 33 mH / 20 Ω = 1.65 ms

求解时间

0.6 = 3·e^−t/τ → t = τ·ln(3/0.6)

t = 1.65·ln(5) = 2.656 ms

答案

t = 2.656 ms

6.RC 和 RL 暂态

答案: t = 78.47 ms

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 1 kΩ · 220 µF = 220 ms

v_C(t) = 5 + (30 − 5)·e^−t/τ

求解时间

22.5 = 5 + (25)·e^−t/τ → e^−t/τ = (22.5 − 5)/(30 − 5) = 0.7

t = τ·ln((30 − 5)/(22.5 − 5)) = 220·ln(1.429) = 78.47 ms

答案

t = 78.47 ms

7.磁场与电磁感应

答案: I = 781.2 mA

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

每匝的磁通量变化

ΔΦ = (0.7 − 0.2)·0.0025 = 0.00125 Wb

平均电动势

ε = NΔΦ/Δt = 250·0.00125/0.05 = 6.25 V

电流

I = ε/R = 6.25/8 = 0.7812 A

答案

I = 781.2 mA

8.磁场与电磁感应

答案: ε = 8 V

自感电动势

电动势阻碍电流的变化（楞次定律），所以它的符号与 ΔI 相反；大小为 L·|ΔI|/Δt。

ε = L·ΔI/Δt = 0.1·4/0.05 = 8 V

答案

ε = 8 V

9.交流阻抗和相量

答案: P = 0.8745 W

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

X_L = 251.3 Ω, X_C = 36.17 Ω

阻抗

|Z| = √(80² + (215.2)²) = 229.5 Ω

有功功率

电感和电容只储存和释放能量；全部有功功率都由电阻吸收。

I = 24/229.5 = 0.1046 A

P = I²·R = 0.1046²·80 = 0.8745 W

答案

P = 0.8745 W

10.交流阻抗和相量

答案: V_L = 379.5 V

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.1·1·10⁻⁶) = 3162 rad/s

I = V/R = 12/10 = 1.2 A

电感两端的电压

X_L = ω₀L = 3162·0.1 = 316.2 Ω

V_L = I·X_L = 1.2·316.2 = 379.5 V

答案

V_L = 379.5 V

这是电源电压的 Q = 31.62 倍。

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