库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
+5 µC 和 +2 µC 的两个电荷相距 10 cm。在两者之间的连线上，距 +5 µC 电荷多远 x 处电场为零？
q1 = +5 µCq2 = +2 µCd = 10 cm
x = cm
2.库仑定律与电场困难
三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 2 µC 位于直角顶点，q₁ = 3 µC 沿一条直角边距它 3 cm，q₂ = 1 µC 沿另一条直角边距它 8 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。
q1 = 3 µCq2 = 1 µCq3 = 2 µCr13 = 3 cmr23 = 8 cm
F = N
3.串并联电阻中等
求电源 V1 看到的等效电阻 Req。
V1 = 30 VR1 = 3 ΩR2 = 5 ΩR3 = 4 ΩR4 = 2 Ω
Req = Ω
4.串并联电阻困难
求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。
V1 = 24 VR1 = 5 ΩR2 = 6 ΩR3 = 2 ΩR4 = 8 ΩR5 = 3 ΩR6 = 4 Ω
IR1 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。 开关在 t = 0 闭合时电容未充电。 求开关闭合后电路的时间常数 τ。
Vs = 30 VR1 = 3.3 kΩR2 = 2.2 kΩC = 22 µF
τ = ms
6.RC 和 RL 暂态困难
跨接在 R2 两端的开关已闭合很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关断开。 求 t = 60 ms 时的电感电流 i。
Vs = 24 VR1 = 5 ΩR2 = 5 ΩL = 220 mHt = 60 ms
i = A
7.磁场与电磁感应中等
一个 25 匝线圈的面积为 50 cm²。线圈位于垂直于其平面的 0.8 T 均匀磁场中，该磁场在 100 ms 内被关断。 求平均感应电动势 ε。
N = 25A = 50 cm²B = 0.8 TΔt = 100 ms
ε = V
8.磁场与电磁感应困难
一个 100 匝、12 cm × 20 cm 的线圈在 0.25 T 的均匀磁场中，以 3600 rpm 绕垂直于磁场的轴转动。求电动势的有效值 Erms。
N = 100A = 12 cm × 20 cmB = 0.25 Tn = 3600 rpm
Erms = V
9.交流阻抗和相量中等
一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。
V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 22 µF
I = A
10.交流阻抗和相量困难
一个串联 RLC 电路接在 10 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求电容两端电压的有效值 VC。
V = 10 V (rms)f = 50 HzR = 15 ΩL = 150 mHC = 22 µF
VC = V
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: x = 6.126 cm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
电场相等
5/x² = 2/(10 − x)²
(10 − x)/x = √(2/5) = 0.6325
位置
x = 10/(1 + 0.6325) = 6.126 cm
答案
x = 6.126 cm
零点总是更靠近较小的电荷。
2.库仑定律与电场
答案: F = 60 N
库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。
q₃ 所受的各个力
F1 = k·3·2 × 10⁻¹²/0.03² = 59.93 N
F2 = k·1·2 × 10⁻¹²/0.08² = 2.809 N
矢量和
F = √(59.93² + 2.809²) = 60 N
答案
F = 60 N
3.串并联电阻
答案: Req = 5.727 Ω
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 4 + 2 = 6 Ω
R2 ∥ 6 = 5·6/(5+6) = 2.727 Ω
Req = R1 + 2.727 = 3 + 2.727 = 5.727 Ω
答案
Req = 5.727 Ω
4.串并联电阻
答案: IR1 = 3.026 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 3 + 4 = 7 Ω
R4 ∥ 7 = 3.733 Ω
R3 + 3.733 = 5.733 Ω
R2 ∥ 5.733 = 2.932 Ω
Req = R1 + 2.932 = 5 + 2.932 = 7.932 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 24/7.932 = 3.026 A
答案
IR1 = 3.026 A
5.RC 和 RL 暂态
答案: τ = 29.04 ms
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
电容看到的戴维南等效电路
把电源短路求 Rth；把电容断开，求它最终稳定的电压。
Rth = R1 ∥ R2 = 3.3·2.2/(3.3 + 2.2) = 1.32 kΩ
vC(∞) = 30·2.2/(3.3 + 2.2) = 12 V
时间常数
τ = Rth·C = 1.32·22 = 29.04 ms
答案
τ = 29.04 ms
6.RC 和 RL 暂态
答案: i = 2.557 A
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
初始值、终值、时间常数
在 t = 0 之前，闭合的开关把 R₂ 旁路；之后 R₁ 和 R₂ 都在回路中。
i(0) = 24/5 = 4.8 A
i(∞) = 24/(5 + 5) = 2.4 A
τ = L/R = 220/10 = 22 ms
i(t) = 2.4 + (4.8 − 2.4)·e−t/τ
给定时刻的电流
i(60) = 2.4 + (2.4)·e−60/22 = 2.557 A
答案
i = 2.557 A
7.磁场与电磁感应
答案: ε = 1 V
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
每匝的磁通量变化
ΔΦ = 0.8·0.005 = 0.004 Wb
平均电动势
ε = NΔΦ/Δt = 25·0.004/0.1 = 1 V
答案
ε = 1 V
8.磁场与电磁感应
答案: Erms = 159.9 V
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
角速度与面积
ω = 2π·3600/60 = 377 rad/s
A = 0.024 m²
峰值电动势
E₀ = NBAω = 100·0.25·0.024·377 = 226.2 V
有效值
Erms = 226.2/√2 = 159.9 V
答案
Erms = 159.9 V
9.交流阻抗和相量
答案: I = 0.4569 A
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.2 = 251.3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36.17 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (215.2)²) = 218.8 Ω
电流
串联电路中每个元件流过相同电流。
I = V/|Z| = 100/218.8 = 0.4569 A
答案
I = 0.4569 A
10.交流阻抗和相量
答案: VC = 14.66 V
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.15 = 47.12 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·22·10⁻⁶) = 144.7 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(15² + (−97.56)²) = 98.71 Ω
电流
串联电路中每个元件流过相同电流。
I = V/|Z| = 10/98.71 = 0.1013 A
电容电压
VC = I·XC = 0.1013·144.7 = 14.66 V
答案
VC = 14.66 V
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