库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
一个 +5 µC 的电荷与一个 −6 µC 的电荷相距 50 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 25 cm。求 P 点电场强度的大小 E。
q1 = +5 µCq2 = −6 µCr1 = 25 cmr2 = 25 cm
E = N/C
2.库仑定律与电场困难
两个质量均为 8 g 的相同小球用长 80 cm 的绝缘细线悬挂在同一点。让它们带上等量电荷后，每根细线稳定在与竖直方向成 12° 的位置。取 g = 9.81 m/s²。求每个小球所带的电荷量 q，以 nC 表示。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
m = 8 gL = 80 cmθ = 12°g = 9.81 m/s²
q = nC
3.串并联电阻中等
求流过 R2 的电流 IR2。
V1 = 12 VR1 = 5 ΩR2 = 10 ΩR3 = 15 ΩR4 = 20 Ω
IR2 = A
4.串并联电阻困难
求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。
V1 = 6 VR1 = 25 ΩR2 = 20 ΩR3 = 2 ΩR4 = 25 ΩR5 = 2 ΩR6 = 25 Ω
IR1 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
电感中流过 3 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。 求 t = 5 ms 时 R 两端的电压 vR。
i(0) = 3 AR = 47 ΩL = 150 mHt = 5 ms
vR = V
6.RC 和 RL 暂态困难
开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 30 V，极性如图所示。 求 t = 60 ms 时的电容电压 vC。
Vs = 6 VR = 6.8 kΩC = 22 µFvC(0) = 30 Vt = 60 ms
vC = V
7.磁场与电磁感应中等
一根长 40 cm 的金属杆以 8 m/s 的速度沿两条导轨滑动，处于垂直进入纸面的 0.1 T 均匀磁场中。导轨之间接有 5 Ω 的电阻；杆和导轨的电阻可忽略。求电流 I。
B = 0.1 TL = 40 cmv = 8 m/sR = 5 Ω
I = mA
8.磁场与电磁感应困难
一个 100 匝、12 cm × 15 cm 的线圈在 0.25 T 的均匀磁场中，以 900 rpm 绕垂直于磁场的轴转动。求电动势的有效值 Erms。
N = 100A = 12 cm × 15 cmB = 0.25 Tn = 900 rpm
Erms = V
9.交流阻抗和相量中等
一个串联 RLC 电路接在 120 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求电路的功率因数 cos φ。
V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 100 µF
cos φ =
10.交流阻抗和相量困难
电阻 R1 与 R2 和电容 C 的并联组合串联，接在 120 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求阻抗的模 |Z|。
V = 120 V (rms)f = 200 HzR1 = 20 ΩR2 = 50 ΩC = 47 µF
|Z| = Ω
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: E = 1.582 × 10⁶ N/C
库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。
各电荷的电场
E1 = k·5 × 10⁻⁶/0.25² = 719200 N/C
E2 = k·6 × 10⁻⁶/0.25² = 863040 N/C
方向与合成
第一个电场背离正电荷，第二个电场指向负电荷：两者方向相同。
E = |719200 + 863040| = 1.582 × 10⁶ N/C
答案
E = 1.582 × 10⁶ N/C
2.库仑定律与电场
答案: q = 453.1 nC
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
由平衡求电场力
拉力的水平分量平衡 F，竖直分量平衡 m·g。
F = m·g·tan θ = 0.008·9.81·tan 12° = 0.01668 N
间距
r = 2·L·sin θ = 2·0.8·sin 12° = 0.3327 m
电荷量
F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.3327·√(0.01668/8.99 × 10⁹) = 4.531 × 10⁻⁷ C = 453.1 nC
答案
q = 453.1 nC
3.串并联电阻
答案: IR2 = 0.7304 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 15 + 20 = 35 Ω
R2 ∥ 35 = 10·35/(10+35) = 7.778 Ω
Req = R1 + 7.778 = 5 + 7.778 = 12.78 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 12/12.78 = 0.9391 A
流过 R₂ 的电流
减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。
VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 0.9391·5 = 7.304 V
IR2 = VA/R2 = 7.304/10 = 0.7304 A
答案
IR2 = 0.7304 A
4.串并联电阻
答案: IR1 = 0.1788 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 2 + 25 = 27 Ω
R4 ∥ 27 = 12.98 Ω
R3 + 12.98 = 14.98 Ω
R2 ∥ 14.98 = 8.565 Ω
Req = R1 + 8.565 = 25 + 8.565 = 33.57 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 6/33.57 = 0.1788 A
答案
IR1 = 0.1788 A
5.RC 和 RL 暂态
答案: vR = 29.43 V
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数
τ = L/R = 150 mH / 47 Ω = 3.191 ms
电流的衰减
i(t) = 3·e−5/3.191 = 0.6262 A
vR = R·i = 47·0.6262 = 29.43 V
答案
vR = 29.43 V
6.RC 和 RL 暂态
答案: vC = 22.07 V
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
初始值、终值、时间常数
电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。
vC(0) = 30 V, vC(∞) = Vs = 6 V
τ = R·C = 6.8 kΩ · 22 µF = 149.6 ms
vC(t) = 6 + (30 − 6)·e−t/τ
给定时刻的电压
vC(60) = 6 + (24)·e−60/149.6 = 22.07 V
答案
vC = 22.07 V
7.磁场与电磁感应
答案: I = 64 mA
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
动生电动势
ε = BLv = 0.1·0.4·8 = 0.32 V
电流
I = ε/R = 0.32/5 = 0.064 A
答案
I = 64 mA
8.磁场与电磁感应
答案: Erms = 29.99 V
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
角速度与面积
ω = 2π·900/60 = 94.25 rad/s
A = 0.018 m²
峰值电动势
E₀ = NBAω = 100·0.25·0.018·94.25 = 42.41 V
有效值
Erms = 42.41/√2 = 29.99 V
答案
Erms = 29.99 V
9.交流阻抗和相量
答案: cos φ = 0.9053
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
XL = 62.83 Ω, XC = 15.92 Ω
阻抗
|Z| = √(100² + (46.92)²) = 110.5 Ω
功率因数
cos φ = R/|Z| = 100/110.5 = 0.9053
电路是感性的，所以功率因数滞后。
答案
cos φ = 0.9053
10.交流阻抗和相量
答案: |Z| = 29.38 Ω
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
XC = 1/(2π·200·47·10⁻⁶) = 16.93 Ω
并联组合
分子分母同乘以共轭复数，把 Zp 分成实部和虚部。
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 5.144 − j15.19 Ω
总阻抗
Z = 20 + 5.144 − j15.19 = 25.14 − j15.19 Ω
|Z| = √(25.14² + 15.19²) = 29.38 Ω
答案
|Z| = 29.38 Ω
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