物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律
F = k·|q1q2|/r²
点电荷的电场
E = k·|q|/r²
常量
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力
F = q·E

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线
B = μ0I/(2πr)
平面线圈的中心
B = μ0NI/(2R)
长螺线管
B = μ0nI, n = N/L
常量
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力
F = BIL·sin θ
电荷所受的力
F = |q|vB·sin θ
圆周运动
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线
F/L = μ0I1I2/(2πd)
磁通量
Φ = BA·cos θ
法拉第定律
ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆
ε = BLv
发电机
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
电感
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
互感
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
速度选择器与质谱仪
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

  1. 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
  2. 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
  3. 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
  4. 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等
++10 µC++1 µCE = 0100 cm

+10 µC 和 +1 µC 的两个电荷相距 100 cm。在两者之间的连线上，距 +10 µC 电荷多远 x 处电场为零？

q1 = +10 µCq2 = +1 µCd = 100 cm
x = cm
2.库仑定律与电场困难
++P2 × 8 cm8 cm+6 µC+6 µC

+6 µC 和 +6 µC 的两个电荷相距 16 cm。P 点位于两者连线的中垂线上，距中点 8 cm。求 P 点电场强度 E 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +6 µCq2 = +6 µCd = 16 cmh = 8 cm
E = N/C
3.串并联电阻中等
R1​ = 2 ΩIR1​R3​ = 4 Ω+−V1​9 VR2​2 ΩAR4​8 ΩB

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 9 VR1 = 2 ΩR2 = 2 ΩR3 = 4 ΩR4 = 8 Ω
IR1 = A
4.串并联电阻困难
R1​ = 25 ΩIR1​R3​ = 12 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​15 VR2​30 ΩAR4​12 ΩBR6​2 Ω

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 15 VR1 = 25 ΩR2 = 30 ΩR3 = 12 ΩR4 = 12 ΩR5 = 15 ΩR6 = 2 Ω
IR1 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​9 Vt = 0R = 15 ΩL68 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求电路稳定后电感中储存的能量 W(∞)，以 mJ 表示。

Vs = 9 VR = 15 ΩL = 68 mH
W(∞) = mJ
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​20 VR1​ = 33 ΩR2​ = 20 Ω在 t = 0 断开L47 mHi(t)

跨接在 R2 两端的开关已闭合很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关断开。 求 t = 1 ms 时的电感电流 i。

Vs = 20 VR1 = 33 ΩR2 = 20 ΩL = 47 mHt = 1 ms
i = A
7.磁场与电磁感应中等
nBA = 80 cm², N = 25B = 0.2 T

一个 25 匝线圈的面积为 80 cm²。线圈位于垂直于其平面的 0.2 T 均匀磁场中，该磁场在 250 ms 内被关断。 求平均感应电动势 ε。

N = 25A = 80 cm²B = 0.2 TΔt = 250 ms
ε = mV
8.磁场与电磁感应困难
l = 40 cmN = 800, ⌀ 1 cm

一个长空心螺线管有 800 匝，长度为 40 cm，直径为 1 cm。求它的自感 L。

N = 800l = 40 cm⌀ = 1 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
L = µH
9.交流阻抗和相量中等
24 V200 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 47 µFI

一个串联 RLC 电路接在 24 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 47 µF
I = A
10.交流阻抗和相量困难
24 V100 HzR = 40 ΩL = 250 mHC = 22 µF+−VC​

一个串联 RLC 电路接在 24 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求电容两端电压的有效值 VC。

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 250 mHC = 22 µF
VC = V

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: x = 75.97 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

电场相等

10/x² = 1/(100 − x)²
(100 − x)/x = √(1/10) = 0.3162

位置

x = 100/(1 + 0.3162) = 75.97 cm

答案

x = 75.97 cm

零点总是更靠近较小的电荷。

2.库仑定律与电场

答案: E = 5.96 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

一个电荷的距离和电场

r = √(8² + 8²) = 11.31 cm
E1 = k·6 × 10⁻⁶/0.1131² = 4.214 × 10⁶ N/C

分量

沿两电荷连线方向的分量抵消。

E = 2·E1·(h/r) = 2·4.214 × 10⁶·0.7071 = 5.96 × 10⁶ N/C

答案

E = 5.96 × 10⁶ N/C

电场沿中垂线方向，背离两个电荷。

3.串并联电阻

答案: IR1 = 2.423 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 2 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​9 VR2​2 ΩAR4​8 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 4 + 8 = 12 Ω
R2 ∥ 12 = 2·12/(2+12) = 1.714 Ω
Req = R1 + 1.714 = 2 + 1.714 = 3.714 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 9/3.714 = 2.423 A

答案

IR1 = 2.423 A
4.串并联电阻

答案: IR1 = 0.4093 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 25 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​15 VR2​30 ΩAR4​12 ΩBR6​2 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 15 + 2 = 17 Ω
R4 ∥ 17 = 7.034 Ω
R3 + 7.034 = 19.03 Ω
R2 ∥ 19.03 = 11.65 Ω
Req = R1 + 11.65 = 25 + 11.65 = 36.65 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 15/36.65 = 0.4093 A

答案

IR1 = 0.4093 A
5.RC 和 RL 暂态

答案: W(∞) = 12.24 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 68 mH / 15 Ω = 4.533 ms
i(∞) = Vs/R = 9/15 = 0.6 A

储存的能量

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·68·0.6² = 12.24 mJ

答案

W(∞) = 12.24 mJ
6.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.4514 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，闭合的开关把 R₂ 旁路；之后 R₁ 和 R₂ 都在回路中。

i(0) = 20/33 = 0.6061 A
i(∞) = 20/(33 + 20) = 0.3774 A
τ = L/R = 47/53 = 0.8868 ms
i(t) = 0.3774 + (0.6061 − 0.3774)·e−t/τ

给定时刻的电流

i(1) = 0.3774 + (0.2287)·e−1/0.8868 = 0.4514 A

答案

i = 0.4514 A
7.磁场与电磁感应

答案: ε = 160 mV

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

每匝的磁通量变化

ΔΦ = 0.2·0.008 = 0.0016 Wb

平均电动势

ε = NΔΦ/Δt = 25·0.0016/0.25 = 0.16 V

答案

ε = 160 mV
8.磁场与电磁感应

答案: L = 157.9 µH

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

横截面

A = π·(0.005)² = 7.854 × 10⁻⁵ m²

自感

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·800²·7.854 × 10⁻⁵/0.4 = 0.0001579 H = 157.9 µH

答案

L = 157.9 µH
9.交流阻抗和相量

答案: I = 0.4592 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.05 = 62.83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·47·10⁻⁶) = 16.93 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(25² + (45.9)²) = 52.27 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 24/52.27 = 0.4592 A

答案

I = 0.4592 A
10.交流阻抗和相量

答案: VC = 18.53 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.25 = 157.1 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·22·10⁻⁶) = 72.34 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (84.74)²) = 93.7 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 24/93.7 = 0.2561 A

电容电压

VC = I·XC = 0.2561·72.34 = 18.53 V

答案

VC = 18.53 V

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