物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

一个 +2 µC 的电荷与一个 +10 µC 的电荷相距 60 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 15 cm。求 P 点电场强度的大小 E。

q₁ = +2 µCq₂ = +10 µCr₁ = 15 cmr₂ = 45 cm

E = N/C

2.库仑定律与电场困难

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 6 µC 位于直角顶点，q₁ = 3 µC 沿一条直角边距它 8 cm，q₂ = 6 µC 沿另一条直角边距它 5 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q₁ = 3 µCq₂ = 6 µCq₃ = 6 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 9 VR₁ = 5 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

4.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 30 VR₁ = 8 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 4 Ω

R_eq = Ω

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求电路稳定后电感中储存的能量 W(∞)，以 mJ 表示。

V_s = 20 VR = 47 ΩL = 150 mH

W(∞) = mJ

6.RC 和 RL 暂态困难

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。求 t = 500 ms 时流过 R₂ 的电流 i₂。

V_s = 24 VR₁ = 3.3 kΩR₂ = 2.2 kΩC = 220 µFt = 500 ms

i₂ = mA

7.磁场与电磁感应中等

一根长 80 cm 的金属杆以 1 m/s 的速度沿两条导轨滑动，处于垂直进入纸面的 0.6 T 均匀磁场中。导轨之间接有 2.5 Ω 的电阻；杆和导轨的电阻可忽略。求电流 I。

B = 0.6 TL = 80 cmv = 1 m/sR = 2.5 Ω

I = mA

8.磁场与电磁感应困难

一个长空心螺线管有 2000 匝，长度为 20 cm，直径为 2.5 cm。当它通有 2 A 的电流时，求其磁场中储存的能量 W。

N = 2000l = 20 cm⌀ = 2.5 cmI = 2 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 120 V（有效值）、100 Hz 的电源上。求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 47 µF

φ = °

10.交流阻抗和相量困难

一个 RLC 串联电路由 10 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 V_L。

V = 10 V (rms)R = 5 ΩL = 100 mHC = 4.7 µF

V_L = V

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: E = 355160 N/C

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

各电荷的电场

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0.15² = 799111 N/C

E₂ = k·10 × 10⁻⁶/0.45² = 443951 N/C

方向与合成

两个电荷都是正的：在 P 点，它们的电场各自背离对应的电荷，因此方向相反。

E = |799111 − 443951| = 355160 N/C

答案

E = 355160 N/C

2.库仑定律与电场

答案: F = 131.9 N

q₃ 所受的各个力

F₁ = k·3·6 × 10⁻¹²/0.08² = 25.28 N

F₂ = k·6·6 × 10⁻¹²/0.05² = 129.5 N

矢量和

F = √(25.28² + 129.5²) = 131.9 N

答案

F = 131.9 N

3.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.68 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 4 + 10 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 20·14/(20+14) = 8.235 Ω

R_eq = R₁ + 8.235 = 5 + 8.235 = 13.24 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 9/13.24 = 0.68 A

答案

I_R1 = 0.68 A

4.串并联电阻

答案: R_eq = 11.51 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 15 + 4 = 19 Ω

R₄ ∥ 19 = 3.958 Ω

R₃ + 3.958 = 28.96 Ω

R₂ ∥ 28.96 = 3.515 Ω

R_eq = R₁ + 3.515 = 8 + 3.515 = 11.51 Ω

答案

R_eq = 11.51 Ω

5.RC 和 RL 暂态

答案: W(∞) = 13.58 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 150 mH / 47 Ω = 3.191 ms

i(∞) = V_s/R = 20/47 = 0.4255 A

储存的能量

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·150·0.4255² = 13.58 mJ

答案

W(∞) = 13.58 mJ

6.RC 和 RL 暂态

答案: i₂ = 1.553 mA

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

v_C(0) = 24·2.2/(3.3 + 2.2) = 9.6 V

开关断开后的时间常数

τ = R₂·C = 2.2·220 = 484 ms

放电

v_C(t) = 9.6·e^−500/484 = 3.417 V

i₂ = v_C/R₂ = 3.417/2.2 = 1.553 mA

答案

i₂ = 1.553 mA

7.磁场与电磁感应

答案: I = 192 mA

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

动生电动势

ε = BLv = 0.6·0.8·1 = 0.48 V

电流

I = ε/R = 0.48/2.5 = 0.192 A

答案

I = 192 mA

8.磁场与电磁感应

答案: W = 24.67 mJ

自感

L = μ₀N²A/l = 12.34 mH

储存的能量

W = ½LI² = ½·0.01234·2² = 0.02467 J = 24.67 mJ

答案

W = 24.67 mJ

9.交流阻抗和相量

答案: φ = −12.02 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s

X_L = ωL = 628.3·0.02 = 12.57 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628.3·47·10⁻⁶) = 33.86 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−21.3)²) = 102.2 Ω

相角

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−21.3/100) = −12.02°

答案

φ = −12.02°

10.交流阻抗和相量

答案: V_L = 291.7 V

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.1·4.7·10⁻⁶) = 1459 rad/s

I = V/R = 10/5 = 2 A

电感两端的电压

X_L = ω₀L = 1459·0.1 = 145.9 Ω

V_L = I·X_L = 2·145.9 = 291.7 V

答案

V_L = 291.7 V

这是电源电压的 Q = 29.17 倍。

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