物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

+2 µC 和 +6 µC 的两个电荷相距 50 cm。在两者之间的连线上，距 +2 µC 电荷多远 x 处电场为零？

q₁ = +2 µCq₂ = +6 µCd = 50 cm

x = cm

2.库仑定律与电场困难

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 4 µC 位于直角顶点，q₁ = 4 µC 沿一条直角边距它 4 cm，q₂ = 10 µC 沿另一条直角边距它 10 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q₁ = 4 µCq₂ = 10 µCq₃ = 4 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 30 VR₁ = 4 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 5 Ω

I_R1 = A

4.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 18 VR₁ = 30 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 5 Ω

R_eq = Ω

5.RC 和 RL 暂态中等

电感中流过 2.5 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。求 t = 5 ms 时的电流 i。

i(0) = 2.5 AR = 47 ΩL = 100 mHt = 5 ms

i = A

6.RC 和 RL 暂态困难

跨接在 R₂ 两端的开关已闭合很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关断开。 t = 0 之后多长时间电感电流达到 1.315 A？求 t。

V_s = 12 VR₁ = 5 ΩR₂ = 47 ΩL = 22 mH

t = ms

7.磁场与电磁感应中等

一个正方形回路向右运动，进入磁场方向为垂直穿出纸面的均匀磁场区域。回路进入磁场时，点选图中所见的回路感应电流方向。

B: 垂直穿出纸面进入磁场

1顺时针
2逆时针

8.磁场与电磁感应困难

一个 50 匝的短线圈紧紧绕在一个 500 匝、长 30 cm、直径 2 cm 的长螺线管的中部。求它们的互感 M。

N₁ = 500N₂ = 50l = 30 cm⌀ = 2 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

M = µH

9.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、60 Hz 的电源上。求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 10 ΩL = 150 mHC = 22 µF

φ = °

10.交流阻抗和相量困难

电阻 R₁ 与 R₂ 和电容 C 的并联组合串联，接在 120 V（有效值）、100 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 120 V (rms)f = 100 HzR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩC = 47 µF

I = A

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: x = 18.3 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

电场相等

2/x² = 6/(50 − x)²

(50 − x)/x = √(6/2) = 1.732

位置

x = 50/(1 + 1.732) = 18.3 cm

答案

x = 18.3 cm

零点总是更靠近较小的电荷。

2.库仑定律与电场

答案: F = 96.83 N

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

q₃ 所受的各个力

F₁ = k·4·4 × 10⁻¹²/0.04² = 89.9 N

F₂ = k·10·4 × 10⁻¹²/0.1² = 35.96 N

矢量和

F = √(89.9² + 35.96²) = 96.83 N

答案

F = 96.83 N

3.串并联电阻

答案: I_R1 = 4.038 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 3 + 5 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 6·8/(6+8) = 3.429 Ω

R_eq = R₁ + 3.429 = 4 + 3.429 = 7.429 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 30/7.429 = 4.038 A

答案

I_R1 = 4.038 A

4.串并联电阻

答案: R_eq = 35.34 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 6 + 5 = 11 Ω

R₄ ∥ 11 = 3.438 Ω

R₃ + 3.438 = 11.44 Ω

R₂ ∥ 11.44 = 5.335 Ω

R_eq = R₁ + 5.335 = 30 + 5.335 = 35.34 Ω

答案

R_eq = 35.34 Ω

5.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.2384 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 100 mH / 47 Ω = 2.128 ms

电流的衰减

i(t) = 2.5·e^−5/2.128 = 0.2384 A

答案

i = 0.2384 A

6.RC 和 RL 暂态

答案: t = 0.2934 ms

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，闭合的开关把 R₂ 旁路；之后 R₁ 和 R₂ 都在回路中。

i(0) = 12/5 = 2.4 A

i(∞) = 12/(5 + 47) = 0.2308 A

τ = L/R = 22/52 = 0.4231 ms

i(t) = 0.2308 + (2.4 − 0.2308)·e^−t/τ

求解时间

e^−t/τ = (1.315 − 0.2308)/(2.4 − 0.2308) = 0.4998

t = 0.4231·ln(2.001) = 0.2934 ms

答案

t = 0.2934 ms

7.磁场与电磁感应

答案: 顺时针

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

磁通量的变化

穿出纸面的磁通量增大，或进入纸面的磁通量减小。

感应电流的磁场

感应电流阻碍这一变化。

回路内部的感应磁场：进入纸面。

电流的方向

右手螺旋定则：逆时针电流在回路内部产生穿出纸面的磁场。

顺时针

答案

顺时针

8.磁场与电磁感应

答案: M = 32.9 µH

互感

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·500·50·0.0003142/0.3 = 32.9 µH

答案

M = 32.9 µH

9.交流阻抗和相量

答案: φ = −81.12 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0.15 = 56.55 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120.6 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (−64.02)²) = 64.8 Ω

相角

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−64.02/10) = −81.12°

答案

φ = −81.12°

10.交流阻抗和相量

答案: I = 3.86 A

电抗

X_C = 1/(2π·100·47·10⁻⁶) = 33.86 Ω

并联组合

分子分母同乘以共轭复数，把 Z_p 分成实部和虚部。

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 14.83 − j8.757 Ω

总阻抗

Z = 15 + 14.83 − j8.757 = 29.83 − j8.757 Ω

|Z| = √(29.83² + 8.757²) = 31.09 Ω

电流

I = V/|Z| = 120/31.09 = 3.86 A

答案

I = 3.86 A

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