库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
一个 +5 µC 的电荷与一个 +10 µC 的电荷相距 60 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 45 cm。求 P 点电场强度的大小 E。
q1 = +5 µCq2 = +10 µCr1 = 45 cmr2 = 15 cm
E = N/C
2.库仑定律与电场困难
一个电子以 1.5 × 10⁷ m/s 的速度平行于两块平行板射入板间的匀强电场。板长 6 cm，板间电场为 700 N/C。电子电荷量 1.602 × 10⁻¹⁹ C，质量 9.109 × 10⁻³¹ kg；忽略重力。电子离开平行板时侧向偏移多远 y？答案以 mm 表示。
v₀ = 1.5 × 10⁷ m/sL = 6 cmE = 700 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9.109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.串并联电阻中等
求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。
V1 = 12 VR1 = 6 ΩR2 = 12 ΩR3 = 5 ΩR4 = 15 Ω
IR1 = A
4.串并联电阻困难
求电源 V1 看到的等效电阻 Req。
V1 = 30 VR1 = 30 ΩR2 = 25 ΩR3 = 6 ΩR4 = 6 ΩR5 = 30 ΩR6 = 30 Ω
Req = Ω
5.RC 和 RL 暂态中等
开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 开关闭合后多长时间电流达到终值的 99%？求 t。
Vs = 15 VR = 68 ΩL = 100 mH
t = ms
6.RC 和 RL 暂态困难
跨接在 R2 两端的开关已断开很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关闭合，把 R2 短路。 求 t = 40 ms 时的电感电流 i。
Vs = 15 VR1 = 5 ΩR2 = 10 ΩL = 100 mHt = 40 ms
i = A
7.磁场与电磁感应中等
一个质子在 0.4 T 的均匀磁场中做圆周运动。求它转一圈所需的时间 T。
m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CB = 0.4 T
T = ns
8.磁场与电磁感应困难
两个自感分别为 200 mH 和 50 mH 的线圈，耦合系数为 0.8。第一个线圈中的电流以 20 A/s 变化。求第二个线圈中感应出的电动势 ε。
L1 = 200 mHL2 = 50 mHk = 0.8di/dt = 20 A/s
ε = V
9.交流阻抗和相量中等
一个串联 RLC 电路接在 24 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。
V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 47 µF
φ = °
10.交流阻抗和相量困难
一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求电容两端电压的有效值 VC。
V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩL = 200 mHC = 47 µF
VC = V
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: E = 3.774 × 10⁶ N/C
库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。
各电荷的电场
E1 = k·5 × 10⁻⁶/0.45² = 221975 N/C
E2 = k·10 × 10⁻⁶/0.15² = 3.996 × 10⁶ N/C
方向与合成
两个电荷都是正的：在 P 点，它们的电场各自背离对应的电荷，因此方向相反。
E = |221975 − 3.996 × 10⁶| = 3.774 × 10⁶ N/C
答案
E = 3.774 × 10⁶ N/C
2.库仑定律与电场
答案: y = 0.9849 mm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
在板间的时间
t = L/v₀ = 0.06/1.5 × 10⁷ = 4 × 10⁻⁹ s
侧向加速度
a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·700/9.109 × 10⁻³¹ = 1.231 × 10¹⁴ m/s²
挠度
y = ½·a·t² = ½·1.231 × 10¹⁴·(4 × 10⁻⁹)² = 0.0009849 m = 0.9849 mm
答案
y = 0.9849 mm
电子被推向正极板，与电场方向相反。
3.串并联电阻
答案: IR1 = 0.8889 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 5 + 15 = 20 Ω
R2 ∥ 20 = 12·20/(12+20) = 7.5 Ω
Req = R1 + 7.5 = 6 + 7.5 = 13.5 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 12/13.5 = 0.8889 A
答案
IR1 = 0.8889 A
4.串并联电阻
答案: Req = 37.86 Ω
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 30 + 30 = 60 Ω
R4 ∥ 60 = 5.455 Ω
R3 + 5.455 = 11.45 Ω
R2 ∥ 11.45 = 7.855 Ω
Req = R1 + 7.855 = 30 + 7.855 = 37.86 Ω
答案
Req = 37.86 Ω
5.RC 和 RL 暂态
答案: t = 6.772 ms
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数和终值电流
开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。
τ = L/R = 100 mH / 68 Ω = 1.471 ms
i(∞) = Vs/R = 15/68 = 0.2206 A
求解时间
0.99 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.99)
t = −1.471·ln(0.01) = 6.772 ms
答案
t = 6.772 ms
6.RC 和 RL 暂态
答案: i = 2.729 A
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
初始值、终值、时间常数
在 t = 0 之前，两个电阻都在回路中；之后闭合的开关把 R₂ 旁路。
i(0) = 15/(5 + 10) = 1 A
i(∞) = 15/5 = 3 A
τ = L/R = 100/5 = 20 ms
i(t) = 3 + (1 − 3)·e−t/τ
给定时刻的电流
i(40) = 3 + (−2)·e−40/20 = 2.729 A
答案
i = 2.729 A
7.磁场与电磁感应
答案: T = 164 ns
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
圆周运动的周期
更快的粒子沿更大的圆运动，所以每转一圈的时间保持不变。
T = 2πm/(|q|B) = 2π·1.673 × 10⁻²⁷/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.4) = 164 ns
答案
T = 164 ns
不需要速率：这就是回旋加速器可以使用一个固定频率的原因。
8.磁场与电磁感应
答案: ε = 1.6 V
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
互感
M = 0.8·√(200·50) = 80 mH
感应电动势
ε = M·di/dt = 0.08·20 = 1.6 V
答案
ε = 1.6 V
9.交流阻抗和相量
答案: φ = 11.59 °
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.02 = 25.13 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·47·10⁻⁶) = 16.93 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (8.201)²) = 40.83 Ω
相角
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(8.201/40) = 11.59°
答案
φ = 11.59°
10.交流阻抗和相量
答案: VC = 159 V
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.2 = 75.4 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56.44 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (18.96)²) = 35.49 Ω
电流
串联电路中每个元件流过相同电流。
I = V/|Z| = 100/35.49 = 2.818 A
电容电压
VC = I·XC = 2.818·56.44 = 159 V
答案
VC = 159 V
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