物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

+1 µC 和 +8 µC 的两个电荷相距 60 cm。在两者之间的连线上，距 +1 µC 电荷多远 x 处电场为零？

q₁ = +1 µCq₂ = +8 µCd = 60 cm

x = cm

2.库仑定律与电场困难

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 8 µC 位于直角顶点，q₁ = 1 µC 沿一条直角边距它 3 cm，q₂ = 10 µC 沿另一条直角边距它 10 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q₁ = 1 µCq₂ = 10 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 5 Ω

I_R2 = A

4.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 24 VR₁ = 12 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 10 Ω

R_eq = Ω

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求电路稳定后电感中储存的能量 W(∞)，以 mJ 表示。

V_s = 6 VR = 15 ΩL = 100 mH

W(∞) = mJ

6.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 2 V，极性如图所示。 v_C 需要多长时间达到 6.2 V？求 t。

V_s = 9 VR = 1 kΩC = 220 µFv_C(0) = 2 V

t = ms

7.磁场与电磁感应中等

一个 α 粒子以 8 × 10⁶ m/s 的速度垂直于 0.5 T 的均匀磁场运动。求其圆形轨迹的半径 r。

m = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ Cv = 8 × 10⁶ m/sB = 0.5 T

r = cm

8.磁场与电磁感应困难

一个 10 mH 的电感中，电流在 20 ms 内从 0 A 均匀变化到 0.5 A。求自感电动势的大小 ε。

L = 10 mH0 A → 0.5 AΔt = 20 ms

ε = V

9.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 24 V（有效值）、500 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 100 µF

I = A

10.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、100 Hz 的电源上。求电路的谐振频率 f₀。

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 30 ΩL = 150 mHC = 4.7 µF

f₀ = Hz

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: x = 15.67 cm

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

电场相等

1/x² = 8/(60 − x)²

(60 − x)/x = √(8/1) = 2.828

位置

x = 60/(1 + 2.828) = 15.67 cm

答案

x = 15.67 cm

零点总是更靠近较小的电荷。

2.库仑定律与电场

答案: F = 107.5 N

q₃ 所受的各个力

F₁ = k·1·8 × 10⁻¹²/0.03² = 79.91 N

F₂ = k·10·8 × 10⁻¹²/0.1² = 71.92 N

矢量和

F = √(79.91² + 71.92²) = 107.5 N

答案

F = 107.5 N

3.串并联电阻

答案: I_R2 = 1.681 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 8 + 5 = 13 Ω

R₂ ∥ 13 = 2·13/(2+13) = 1.733 Ω

R_eq = R₁ + 1.733 = 6 + 1.733 = 7.733 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 15/7.733 = 1.94 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 1.94·6 = 3.362 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3.362/2 = 1.681 A

答案

I_R2 = 1.681 A

4.串并联电阻

答案: R_eq = 24.01 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 4 + 10 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 5.091 Ω

R₃ + 5.091 = 30.09 Ω

R₂ ∥ 30.09 = 12.01 Ω

R_eq = R₁ + 12.01 = 12 + 12.01 = 24.01 Ω

答案

R_eq = 24.01 Ω

5.RC 和 RL 暂态

答案: W(∞) = 8 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 100 mH / 15 Ω = 6.667 ms

i(∞) = V_s/R = 6/15 = 0.4 A

储存的能量

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·100·0.4² = 8 mJ

答案

W(∞) = 8 mJ

6.RC 和 RL 暂态

答案: t = 201.6 ms

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 2 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 1 kΩ · 220 µF = 220 ms

v_C(t) = 9 + (2 − 9)·e^−t/τ

求解时间

6.2 = 9 + (−7)·e^−t/τ → e^−t/τ = (6.2 − 9)/(2 − 9) = 0.4

t = τ·ln((2 − 9)/(6.2 − 9)) = 220·ln(2.5) = 201.6 ms

答案

t = 201.6 ms

7.磁场与电磁感应

答案: r = 33.18 cm

磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

力的平衡

磁力总是垂直于速度，所以它使轨迹弯曲成圆。

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

半径

r = 6.645 × 10⁻²⁷·8 × 10⁶/(3.204 × 10⁻¹⁹·0.5) = 0.3318 m = 33.18 cm

答案

r = 33.18 cm

8.磁场与电磁感应

答案: ε = 0.25 V

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

自感电动势

电动势阻碍电流的变化（楞次定律），所以它的符号与 ΔI 相反；大小为 L·|ΔI|/Δt。

ε = L·ΔI/Δt = 0.01·0.5/0.02 = 0.25 V

答案

ε = 0.25 V

9.交流阻抗和相量

答案: I = 0.03791 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.2 = 628.3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·100·10⁻⁶) = 3.183 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (625.1)²) = 633.1 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 24/633.1 = 0.03791 A

答案

I = 0.03791 A

10.交流阻抗和相量

答案: f₀ = 189.6 Hz

谐振

谐振时感抗和容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。与电源频率无关。

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.15·4.7·10⁻⁶)) = 189.6 Hz

答案

f₀ = 189.6 Hz

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