库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
一个 +5 µC 的电荷与一个 −2 µC 的电荷相距 40 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 20 cm。求 P 点电场强度的大小 E。
q1 = +5 µCq2 = −2 µCr1 = 20 cmr2 = 20 cm
E = N/C
2.库仑定律与电场困难
+6 µC 和 +6 µC 的两个电荷相距 12 cm。P 点位于两者连线的中垂线上，距中点 6 cm。求 P 点电场强度 E 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +6 µCq2 = +6 µCd = 12 cmh = 6 cm
E = N/C
3.串并联电阻中等
求电源 V1 看到的等效电阻 Req。
V1 = 6 VR1 = 12 ΩR2 = 3 ΩR3 = 8 ΩR4 = 12 Ω
Req = Ω
4.串并联电阻困难
求流过 R2 的电流 IR2。
V1 = 15 VR1 = 25 ΩR2 = 5 ΩR3 = 6 ΩR4 = 8 ΩR5 = 15 ΩR6 = 4 Ω
IR2 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 开关闭合后多长时间电流达到终值的 80%？求 t。
Vs = 15 VR = 15 ΩL = 220 mH
t = ms
6.RC 和 RL 暂态困难
跨接在 R2 两端的开关已断开很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关闭合，把 R2 短路。 求 t = 1 ms 时的电感电流 i。
Vs = 12 VR1 = 33 ΩR2 = 22 ΩL = 22 mHt = 1 ms
i = A
7.磁场与电磁感应中等
两根相距 2 cm 的长平行导线通有反方向的 5 A 和 8 A 电流。求它们之间每米长度所受的力 F/L。
I1 = 5 AI2 = 8 Ad = 2 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
F/L = µN/m
8.磁场与电磁感应困难
在速度选择器中，正交的电场 E = 1 × 10⁴ V/m 和磁场 B = 0.5 T 只允许一种速率的离子直线通过。求该速率 v。
E = 1 × 10⁴ V/mB1 = 0.5 T
v = m/s
9.交流阻抗和相量中等
一个电阻和一个电感并联接在 12 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求阻抗的模 |Z|。
V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 25 ΩL = 20 mH
|Z| = Ω
10.交流阻抗和相量困难
一个串联 RLC 电路接在 50 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。
V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 47 µF
I = A
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: E = 1.573 × 10⁶ N/C
库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。
各电荷的电场
E1 = k·5 × 10⁻⁶/0.2² = 1.124 × 10⁶ N/C
E2 = k·2 × 10⁻⁶/0.2² = 449500 N/C
方向与合成
第一个电场背离正电荷，第二个电场指向负电荷：两者方向相同。
E = |1.124 × 10⁶ + 449500| = 1.573 × 10⁶ N/C
答案
E = 1.573 × 10⁶ N/C
2.库仑定律与电场
答案: E = 1.059 × 10⁷ N/C
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
一个电荷的距离和电场
r = √(6² + 6²) = 8.485 cm
E1 = k·6 × 10⁻⁶/0.08485² = 7.492 × 10⁶ N/C
分量
沿两电荷连线方向的分量抵消。
E = 2·E1·(h/r) = 2·7.492 × 10⁶·0.7071 = 1.059 × 10⁷ N/C
答案
E = 1.059 × 10⁷ N/C
电场沿中垂线方向，背离两个电荷。
3.串并联电阻
答案: Req = 14.61 Ω
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 8 + 12 = 20 Ω
R2 ∥ 20 = 3·20/(3+20) = 2.609 Ω
Req = R1 + 2.609 = 12 + 2.609 = 14.61 Ω
答案
Req = 14.61 Ω
4.串并联电阻
答案: IR2 = 0.3681 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 15 + 4 = 19 Ω
R4 ∥ 19 = 5.63 Ω
R3 + 5.63 = 11.63 Ω
R2 ∥ 11.63 = 3.497 Ω
Req = R1 + 3.497 = 25 + 3.497 = 28.5 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 15/28.5 = 0.5264 A
流过 R₂ 的电流
减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。
VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 0.5264·25 = 1.841 V
IR2 = VA/R2 = 1.841/5 = 0.3681 A
答案
IR2 = 0.3681 A
5.RC 和 RL 暂态
答案: t = 23.61 ms
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数和终值电流
开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。
τ = L/R = 220 mH / 15 Ω = 14.67 ms
i(∞) = Vs/R = 15/15 = 1 A
求解时间
0.8 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.8)
t = −14.67·ln(0.2) = 23.61 ms
答案
t = 23.61 ms
6.RC 和 RL 暂态
答案: i = 0.3312 A
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
初始值、终值、时间常数
在 t = 0 之前，两个电阻都在回路中；之后闭合的开关把 R₂ 旁路。
i(0) = 12/(33 + 22) = 0.2182 A
i(∞) = 12/33 = 0.3636 A
τ = L/R = 22/33 = 0.6667 ms
i(t) = 0.3636 + (0.2182 − 0.3636)·e−t/τ
给定时刻的电流
i(1) = 0.3636 + (−0.1455)·e−1/0.6667 = 0.3312 A
答案
i = 0.3312 A
7.磁场与电磁感应
答案: F/L = 400 µN/m
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
每米长度所受的力
F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·5·8/0.02 = 400 µN/m
答案
F/L = 400 µN/m
反方向的电流相互排斥。
8.磁场与电磁感应
答案: v = 20000 m/s
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
选出的速率
不偏转：电力 qE 与磁力 qvB 平衡。
v = E/B1 = 1 × 10⁴/0.5 = 20000 m/s
答案
v = 20000 m/s
9.交流阻抗和相量
答案: |Z| = 17.72 Ω
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
XL = ωL = 2π·200·0.02 = 25.13 Ω
支路电流
两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。
IR = V/R = 12/25 = 0.48 A
IX = V/XL = 12/25.13 = 0.4775 A
总电流
电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。
I = √(IR² + IX²) = √(0.48² + 0.4775²) = 0.677 A
阻抗
|Z| = V/I = 12/0.677 = 17.72 Ω
答案
|Z| = 17.72 Ω
10.交流阻抗和相量
答案: I = 0.9364 A
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.1 = 37.7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56.44 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (−18.74)²) = 53.4 Ω
电流
串联电路中每个元件流过相同电流。
I = V/|Z| = 50/53.4 = 0.9364 A
答案
I = 0.9364 A
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