物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

+8 µC 和 +1 µC 的两个电荷相距 10 cm。在两者之间的连线上，距 +8 µC 电荷多远 x 处电场为零？

q₁ = +8 µCq₂ = +1 µCd = 10 cm

x = cm

2.库仑定律与电场困难

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 1 µC 位于直角顶点，q₁ = 6 µC 沿一条直角边距它 10 cm，q₂ = 2 µC 沿另一条直角边距它 5 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q₁ = 6 µCq₂ = 2 µCq₃ = 1 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 30 VR₁ = 15 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 20 Ω

R_eq = Ω

4.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 30 VR₁ = 12 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 6 Ω

I_R2 = A

5.RC 和 RL 暂态中等

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。开关在 t = 0 闭合时电容未充电。求 t = 75 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 30 VR₁ = 6.8 kΩR₂ = 3.3 kΩC = 68 µFt = 75 ms

v_C = V

6.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 12 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 6 V 时它必须触发，恰好在开始后 25 ms。已知 R = 10 kΩ，求所需的电容 C。

V_s = 12 VV_th = 6 VT = 25 msR = 10 kΩ

C = µF

7.磁场与电磁感应中等

一个电子以 1 × 10⁶ m/s 的速度垂直于 10 mT 的均匀磁场运动。求其圆形轨迹的半径 r。

m = 9.109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cv = 1 × 10⁶ m/sB = 10 mT

r = cm

8.磁场与电磁感应困难

一个氘核从静止开始，经电势差 500 V 加速后，垂直进入 0.1 T 的均匀磁场。求其在磁场中轨迹的半径 r。

m = 3.344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CV = 500 VB = 0.1 T

r = cm

9.交流阻抗和相量中等

一个电阻和一个电感并联接在 50 V（有效值）、200 Hz 的电源上。求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 25 ΩL = 50 mH

φ = °

10.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 120 V（有效值）、100 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 100 µF

I = A

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: x = 7.388 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

电场相等

8/x² = 1/(10 − x)²

(10 − x)/x = √(1/8) = 0.3536

位置

x = 10/(1 + 0.3536) = 7.388 cm

答案

x = 7.388 cm

零点总是更靠近较小的电荷。

2.库仑定律与电场

答案: F = 8.99 N

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

q₃ 所受的各个力

F₁ = k·6·1 × 10⁻¹²/0.1² = 5.394 N

F₂ = k·2·1 × 10⁻¹²/0.05² = 7.192 N

矢量和

F = √(5.394² + 7.192²) = 8.99 N

答案

F = 8.99 N

3.串并联电阻

答案: R_eq = 19.8 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 4 + 20 = 24 Ω

R₂ ∥ 24 = 6·24/(6+24) = 4.8 Ω

R_eq = R₁ + 4.8 = 15 + 4.8 = 19.8 Ω

答案

R_eq = 19.8 Ω

4.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.9259 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 12 + 6 = 18 Ω

R₄ ∥ 18 = 5.538 Ω

R₃ + 5.538 = 11.54 Ω

R₂ ∥ 11.54 = 5.357 Ω

R_eq = R₁ + 5.357 = 12 + 5.357 = 17.36 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 30/17.36 = 1.728 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 1.728·12 = 9.259 V

I_R2 = V_A/R₂ = 9.259/10 = 0.9259 A

答案

I_R2 = 0.9259 A

5.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 3.835 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 R_th；把电容断开，求它最终稳定的电压。

R_th = R₁ ∥ R₂ = 6.8·3.3/(6.8 + 3.3) = 2.222 kΩ

v_C(∞) = 30·3.3/(6.8 + 3.3) = 9.802 V

时间常数

τ = R_th·C = 2.222·68 = 151.1 ms

充电曲线

v_C(t) = 9.802·(1 − e^−75/151.1) = 3.835 V

答案

v_C = 3.835 V

6.RC 和 RL 暂态

答案: C = 3.607 µF

所需的时间常数

6 = 12·(1 − e^−25/τ) → τ = 25/ln(12/(12 − 6))

τ = 25/0.6931 = 36.07 ms

电容

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

C = τ/R = 36.07/10 = 3.607 µF

答案

C = 3.607 µF

7.磁场与电磁感应

答案: r = 0.05686 cm

磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

力的平衡

磁力总是垂直于速度，所以它使轨迹弯曲成圆。

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

半径

r = 9.109 × 10⁻³¹·1 × 10⁶/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.01) = 0.0005686 m = 0.05686 cm

答案

r = 0.05686 cm

8.磁场与电磁感应

答案: r = 4.569 cm

加速后的速率

v = √(2|q|V/m) = √(2·1.602 × 10⁻¹⁹·500/(3.344 × 10⁻²⁷)) = 218876 m/s

磁场中的半径

r = mv/(|q|B) = 0.04569 m = 4.569 cm

答案

r = 4.569 cm

合起来：r = √(2mV/|q|)/B，所以电荷相同的较重离子沿较大的圆运动；这就是分离同位素的方法。

9.交流阻抗和相量

答案: φ = 21.7 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

X_L = ωL = 2π·200·0.05 = 62.83 Ω

支路电流

两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。

I_R = V/R = 50/25 = 2 A

I_X = V/X_L = 50/62.83 = 0.7958 A

总电流

电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。

I = √(I_R² + I_X²) = √(2² + 0.7958²) = 2.153 A

相角

电感电流滞后于 V，所以总电流滞后，角度为正。

φ = arctan(I_X/I_R) = arctan(0.7958/2) = 21.7°

答案

φ = 21.7°

10.交流阻抗和相量

答案: I = 2.436 A

电抗

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s

X_L = ωL = 628.3·0.1 = 62.83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628.3·100·10⁻⁶) = 15.92 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (46.92)²) = 49.26 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 120/49.26 = 2.436 A

答案

I = 2.436 A

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