库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
一个 +10 µC 的电荷与一个 −4 µC 的电荷相距 40 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 10 cm。求 P 点电场强度的大小 E。
q1 = +10 µCq2 = −4 µCr1 = 10 cmr2 = 30 cm
E = N/C
2.库仑定律与电场困难
+5 µC 和 −5 µC 的两个电荷相距 16 cm。P 点位于两者连线的中垂线上，距中点 4 cm。求 P 点电场强度 E 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +5 µCq2 = −5 µCd = 16 cmh = 4 cm
E = N/C
3.串并联电阻中等
求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。
V1 = 15 VR1 = 6 ΩR2 = 3 ΩR3 = 15 ΩR4 = 8 Ω
IR1 = A
4.串并联电阻困难
求电源 V1 看到的等效电阻 Req。
V1 = 9 VR1 = 3 ΩR2 = 6 ΩR3 = 2 ΩR4 = 5 ΩR5 = 8 ΩR6 = 15 Ω
Req = Ω
5.RC 和 RL 暂态中等
电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。 开关在 t = 0 闭合时电容未充电。 求开关闭合后电路的时间常数 τ。
Vs = 9 VR1 = 3.3 kΩR2 = 2.2 kΩC = 10 µF
τ = ms
6.RC 和 RL 暂态困难
一个定时器在 t = 0 时开始用 15 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 7.5 V 时它必须触发，恰好在开始后 10 ms。 已知 R = 4.7 kΩ，求所需的电容 C。
Vs = 15 VVth = 7.5 VT = 10 msR = 4.7 kΩ
C = µF
7.磁场与电磁感应中等
一个 200 匝线圈的面积为 40 cm²。垂直于线圈的均匀磁场在 250 ms 内从 0.1 T 均匀增大到 0.7 T。 求平均感应电动势 ε。
N = 200A = 40 cm²B: 0.1 T → 0.7 TΔt = 250 ms
ε = V
8.磁场与电磁感应困难
一个 α 粒子从静止开始，经电势差 1000 V 加速后，垂直进入 0.4 T 的均匀磁场。求其在磁场中轨迹的半径 r。
m = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ CV = 1000 VB = 0.4 T
r = cm
9.交流阻抗和相量中等
一个串联 RLC 电路接在 50 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。
V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 47 µF
φ = °
10.交流阻抗和相量困难
电阻 R1 与 R2 和电容 C 的并联组合串联，接在 230 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求阻抗的模 |Z|。
V = 230 V (rms)f = 200 HzR1 = 25 ΩR2 = 60 ΩC = 22 µF
|Z| = Ω
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: E = 9.39 × 10⁶ N/C
库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。
各电荷的电场
E1 = k·10 × 10⁻⁶/0.1² = 8.99 × 10⁶ N/C
E2 = k·4 × 10⁻⁶/0.3² = 399556 N/C
方向与合成
第一个电场背离正电荷，第二个电场指向负电荷：两者方向相同。
E = |8.99 × 10⁶ + 399556| = 9.39 × 10⁶ N/C
答案
E = 9.39 × 10⁶ N/C
2.库仑定律与电场
答案: E = 1.005 × 10⁷ N/C
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
一个电荷的距离和电场
r = √(8² + 4²) = 8.944 cm
E1 = k·5 × 10⁻⁶/0.08944² = 5.619 × 10⁶ N/C
分量
沿中垂线方向的分量抵消。
E = 2·E1·(a/r) = 2·5.619 × 10⁶·0.8944 = 1.005 × 10⁷ N/C
答案
E = 1.005 × 10⁷ N/C
电场平行于两电荷连线，从正电荷指向负电荷。
3.串并联电阻
答案: IR1 = 1.733 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 15 + 8 = 23 Ω
R2 ∥ 23 = 3·23/(3+23) = 2.654 Ω
Req = R1 + 2.654 = 6 + 2.654 = 8.654 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 15/8.654 = 1.733 A
答案
IR1 = 1.733 A
4.串并联电阻
答案: Req = 6.027 Ω
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 8 + 15 = 23 Ω
R4 ∥ 23 = 4.107 Ω
R3 + 4.107 = 6.107 Ω
R2 ∥ 6.107 = 3.027 Ω
Req = R1 + 3.027 = 3 + 3.027 = 6.027 Ω
答案
Req = 6.027 Ω
5.RC 和 RL 暂态
答案: τ = 13.2 ms
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
电容看到的戴维南等效电路
把电源短路求 Rth；把电容断开，求它最终稳定的电压。
Rth = R1 ∥ R2 = 3.3·2.2/(3.3 + 2.2) = 1.32 kΩ
vC(∞) = 9·2.2/(3.3 + 2.2) = 3.6 V
时间常数
τ = Rth·C = 1.32·10 = 13.2 ms
答案
τ = 13.2 ms
6.RC 和 RL 暂态
答案: C = 3.07 µF
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
所需的时间常数
7.5 = 15·(1 − e−10/τ) → τ = 10/ln(15/(15 − 7.5))
τ = 10/0.6931 = 14.43 ms
电容
kΩ 乘以 µF 得到毫秒。
C = τ/R = 14.43/4.7 = 3.07 µF
答案
C = 3.07 µF
7.磁场与电磁感应
答案: ε = 1.92 V
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
每匝的磁通量变化
ΔΦ = (0.7 − 0.1)·0.004 = 0.0024 Wb
平均电动势
ε = NΔΦ/Δt = 200·0.0024/0.25 = 1.92 V
答案
ε = 1.92 V
8.磁场与电磁感应
答案: r = 1.61 cm
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
加速后的速率
v = √(2|q|V/m) = √(2·3.204 × 10⁻¹⁹·1000/(6.645 × 10⁻²⁷)) = 310537 m/s
磁场中的半径
r = mv/(|q|B) = 0.0161 m = 1.61 cm
答案
r = 1.61 cm
合起来：r = √(2mV/|q|)/B，所以电荷相同的较重离子沿较大的圆运动；这就是分离同位素的方法。
9.交流阻抗和相量
答案: φ = −61.98 °
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.05 = 18.85 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56.44 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(20² + (−37.59)²) = 42.58 Ω
相角
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−37.59/20) = −61.98°
答案
φ = −61.98°
10.交流阻抗和相量
答案: |Z| = 48.83 Ω
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
XC = 1/(2π·200·22·10⁻⁶) = 36.17 Ω
并联组合
分子分母同乘以共轭复数，把 Zp 分成实部和虚部。
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 15.99 − j26.53 Ω
总阻抗
Z = 25 + 15.99 − j26.53 = 40.99 − j26.53 Ω
|Z| = √(40.99² + 26.53²) = 48.83 Ω
答案
|Z| = 48.83 Ω
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