库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
一个 +2 µC 的电荷与一个 +10 µC 的电荷相距 40 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 10 cm。求 P 点电场强度的大小 E。
q1 = +2 µCq2 = +10 µCr1 = 10 cmr2 = 30 cm
E = N/C
2.库仑定律与电场困难
一个电子以 2 × 10⁷ m/s 的速度平行于两块平行板射入板间的匀强电场。板长 8 cm，板间电场为 3800 N/C。电子电荷量 1.602 × 10⁻¹⁹ C，质量 9.109 × 10⁻³¹ kg；忽略重力。电子离开平行板时侧向偏移多远 y？答案以 mm 表示。
v₀ = 2 × 10⁷ m/sL = 8 cmE = 3800 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9.109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.串并联电阻中等
求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。
V1 = 18 VR1 = 5 ΩR2 = 6 ΩR3 = 4 ΩR4 = 12 Ω
IR1 = A
4.串并联电阻困难
求流过 R2 的电流 IR2。
V1 = 36 VR1 = 20 ΩR2 = 12 ΩR3 = 12 ΩR4 = 12 ΩR5 = 6 ΩR6 = 10 Ω
IR2 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。 开关在 t = 0 闭合时电容未充电。 求 t = 25 ms 时的电容电压 vC。
Vs = 30 VR1 = 1 kΩR2 = 4.7 kΩC = 22 µFt = 25 ms
vC = V
6.RC 和 RL 暂态困难
一个定时器在 t = 0 时开始用 5 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 4 V 时它必须触发，恰好在开始后 10 ms。 已知 C = 1 µF，求所需的电阻 R。
Vs = 5 VVth = 4 VT = 10 msC = 1 µF
R = kΩ
7.磁场与电磁感应中等
一根导线通有电流 向页面下方，穿过均匀磁场（磁场方向垂直进入纸面）。点选导线所受磁力的方向。
I: 向页面下方B: 垂直进入纸面
- 1向页面上方
- 2向右
- 3向页面下方
- 4向左
8.磁场与电磁感应困难
一个长空心螺线管有 300 匝，长度为 25 cm，直径为 2.5 cm。当它通有 1 A 的电流时，求其磁场中储存的能量 W。
N = 300l = 25 cm⌀ = 2.5 cmI = 1 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
W = µJ
9.交流阻抗和相量中等
一个串联 RLC 电路接在 50 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求从电源吸取的有功功率 P。
V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 47 µF
P = W
10.交流阻抗和相量困难
一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求电路的谐振频率 f0。
V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 10 µF
f0 = Hz
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: E = 799111 N/C
库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。
各电荷的电场
E1 = k·2 × 10⁻⁶/0.1² = 1.798 × 10⁶ N/C
E2 = k·10 × 10⁻⁶/0.3² = 998889 N/C
方向与合成
两个电荷都是正的：在 P 点，它们的电场各自背离对应的电荷，因此方向相反。
E = |1.798 × 10⁶ − 998889| = 799111 N/C
答案
E = 799111 N/C
2.库仑定律与电场
答案: y = 5.346 mm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
在板间的时间
t = L/v₀ = 0.08/2 × 10⁷ = 4 × 10⁻⁹ s
侧向加速度
a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·3800/9.109 × 10⁻³¹ = 6.683 × 10¹⁴ m/s²
挠度
y = ½·a·t² = ½·6.683 × 10¹⁴·(4 × 10⁻⁹)² = 0.005346 m = 5.346 mm
答案
y = 5.346 mm
电子被推向正极板，与电场方向相反。
3.串并联电阻
答案: IR1 = 1.922 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 4 + 12 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 6·16/(6+16) = 4.364 Ω
Req = R1 + 4.364 = 5 + 4.364 = 9.364 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 18/9.364 = 1.922 A
答案
IR1 = 1.922 A
4.串并联电阻
答案: IR2 = 0.8049 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 6 + 10 = 16 Ω
R4 ∥ 16 = 6.857 Ω
R3 + 6.857 = 18.86 Ω
R2 ∥ 18.86 = 7.333 Ω
Req = R1 + 7.333 = 20 + 7.333 = 27.33 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 36/27.33 = 1.317 A
流过 R₂ 的电流
减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。
VA = V1 − IR1·R1 = 36 − 1.317·20 = 9.659 V
IR2 = VA/R2 = 9.659/12 = 0.8049 A
答案
IR2 = 0.8049 A
5.RC 和 RL 暂态
答案: vC = 18.5 V
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
电容看到的戴维南等效电路
把电源短路求 Rth；把电容断开，求它最终稳定的电压。
Rth = R1 ∥ R2 = 1·4.7/(1 + 4.7) = 0.8246 kΩ
vC(∞) = 30·4.7/(1 + 4.7) = 24.74 V
时间常数
τ = Rth·C = 0.8246·22 = 18.14 ms
充电曲线
vC(t) = 24.74·(1 − e−25/18.14) = 18.5 V
答案
vC = 18.5 V
6.RC 和 RL 暂态
答案: R = 6.213 kΩ
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
所需的时间常数
4 = 5·(1 − e−10/τ) → τ = 10/ln(5/(5 − 4))
τ = 10/1.609 = 6.213 ms
电阻
kΩ 乘以 µF 得到毫秒。
R = τ/C = 6.213/1 = 6.213 kΩ
答案
R = 6.213 kΩ
7.磁场与电磁感应
答案: 向右
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
右手定则
四指沿电流或速度方向，向 B 的方向弯曲；拇指指向正电荷所受的力。
I: 向页面下方, B: 垂直进入纸面
力的方向
向右
答案
F: 向右
8.磁场与电磁感应
答案: W = 111 µJ
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
自感
L = μ₀N²A/l = 222.1 µH
储存的能量
W = ½LI² = ½·0.0002221·1² = 0.000111 J = 111 µJ
答案
W = 111 µJ
9.交流阻抗和相量
答案: P = 24.94 W
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
XL = 62.83 Ω, XC = 16.93 Ω
阻抗
|Z| = √(30² + (45.9)²) = 54.83 Ω
有功功率
电感和电容只储存和释放能量；全部有功功率都由电阻吸收。
I = 50/54.83 = 0.9118 A
P = I²·R = 0.9118²·30 = 24.94 W
答案
P = 24.94 W
10.交流阻抗和相量
答案: f0 = 159.2 Hz
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
谐振
谐振时感抗和容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。与电源频率无关。
f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.1·10·10⁻⁶)) = 159.2 Hz
答案
f0 = 159.2 Hz
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