电力电子与驱动：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

DC-DC 变换器

降压
Vo = D·Vin
升压
Vo = Vin/(1 − D)
反相升降压
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
理想功率平衡
VinIin = VoIo
电感纹波
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
电感平均电流
降压 Io；升压和升降压 Io/(1 − D)
输出纹波
降压 ΔIL/(8fC)；升压和升降压 Io·D/(fC)
CCM 边界
降压 (1 − D)R/(2f)；升压 D(1 − D)²R/(2f)；升降压 (1 − D)²R/(2f)

方法

  1. 判断变换器的类型（降压、升压或升降压），并由电压比求出占空比 D。
  2. 对电感用伏秒平衡：电感电压在一个周期内的平均值为零。
  3. 求开关导通时的电感电压，再求 ΔIL = VL·D/(L·f)。
  4. 求输出纹波时，找出流入和流出电容的电荷；求 CCM 边界时，令电感平均电流等于 ΔIL/2。

直流电机

电枢回路
V = E + IaRa
反电动势与转矩
E = k·ω, T = k·Ia
速率
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
空载转速与堵转转矩
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
各功率
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
起动
Istart = V/(Ra + Rst)
转速调整率
SR = (n0 − nFL)/nFL
最大电磁功率
Pmax = V²/(4Ra)
斩波驱动
Va = D·Vdc

方法

  1. 画出电枢回路：电源 V、电阻 Ra 和反电动势 E 串联。
  2. 用 V = E + Ia·Ra 把电压、电流和反电动势联系起来。
  3. 转速用 E = k·ω，转矩用 T = k·Ia，其中 ω = 2π·n/60。
  4. 对于功率和效率，从 V·Ia 出发，减去铜损 Ia²·Ra，再减去旋转损耗。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

2练习题

1.DC-DC 变换器中等
tiL​Imax​Imin​ΔI = ?DTT2T

某理想 降压 变换器在 500 kHz、L = 33 µH 下把 48 V 变成 28.8 V。求电感纹波电流的峰峰值 ΔIL。

Vin​ = 48 VVo​ = 28.8 Vf = 500 kHzL = 33 µH
ΔIL = A
2.DC-DC 变换器困难
tiL​Imax​IL​DTT2T

某理想 降压 变换器在 20 kHz 下把 12 V 变成 7.2 V，负载为 10 Ω。求连续导通所需的最小电感 Lcrit。

Vin​ = 12 VVo​ = 7.2 Vf = 20 kHzR = 10 Ω
Lcrit = µH
3.直流电机中等
T (N·m)n (rpm)10 N·mn0​n = ?

某直流电机（k = 2 N·m/A，Ra = 2 Ω）由 240 V 供电，带动 10 N·m 的负载转矩。求它的转速 n，单位为 rpm。

V = 240 Vk = 2 N·m/ARa = 2 ΩT = 10 N·m
n = rpm
4.直流电机困难
+−48 VRa​ = 1.2 ΩM+−EωT

某小型直流电机的电枢电阻为 1.2 Ω，由 48 V 供电。忽略旋转损耗，求它在任何转速下能产生的最大机械功率 Pmax。

V = 48 VRa = 1.2 Ω
Pmax = W
5.交流功率和功率因数中等
120 VR + jXP = 216 W3 A

一个感性负载从 120 V（有效值）的单相电源吸取 3 A 和 216 W。把它建模为电阻 R 与电抗 X 串联。 求 X。

V = 120 VI = 3 AP = 216 W
X = Ω
6.交流功率和功率因数困难
P = 30 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 230 V、50 Hz 电源吸取 30 kW，功率因数为 0.65（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.98。 求电容需提供的无功功率 QC。

P = 30 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.98V = 230 Vf = 50 Hz
QC = kvar
7.三相电中等
ABCVL​ = 400 VIL​ = ?M30 kW, η = 90%cos φ = 0.82

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 30 kW。此负载下其效率为 90%，功率因数为 0.82（滞后）。电源线电压为 400 V。求线电流 IL。

Pout = 30 kWη = 90%cos φ = 0.82VL = 400 V
IL = A
8.三相电困难
P = 100 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

一个对称三相负载从 415 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 100 kW，功率因数为 0.78（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.92（滞后）。有功功率保持不变。 求电容器组须提供的总无功功率 QC，以 kvar 计。

P = 100 kWpf1 = 0.78pf2 = 0.92VL = 415 Vf = 60 Hz
QC = kvar

3溶液

1.DC-DC 变换器

答案: ΔIL = 0.6982 A

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 28.8/48 = 0.6

导通期间的电感电压

S 导通时，电感连接在 Vin 和 Vo 之间。

VL = 48 − 28.8 = 19.2 V

纹波电流

ΔIL = VL·D/(L·f) = 19.2·0.6/(33·10⁻⁶·500·10³) = 0.6982 A

答案

ΔIL = 0.6982 A
2.DC-DC 变换器

答案: Lcrit = 100 µH

DC-DC 变换器：开关 S 在每个周期 T = 1/f 中有 D 的比例处于导通。稳态时电感的平均电压为零（伏秒平衡），由此得到连续导通模式下的理想变换比：降压（buck）Vo = D·Vin，升压（boost）Vo = Vin/(1 − D)，反相升降压（buck-boost）|Vo| = Vin·D/(1 − D)。理想变换器功率守恒：Vin·Iin = Vo·Io。开关导通期间，电感电流上升 ΔIL = VL·D·T/L，其中降压变换器的 VL = Vin − Vo，升压和升降压变换器为 Vin。输出纹波对降压变换器为 ΔVo = ΔIL/(8fC)，对升压和升降压变换器为 Io·D/(fC)。当平均电感电流等于 ΔIL/2 时，电感电流刚好触及零（连续导通模式的边界）。

占空比

D = 7.2/12 = 0.6

边界条件

令电感平均电流等于纹波电流的一半，解出 L。

Lcrit = (1 − D)·R/(2f)

临界电感

Lcrit = (1 − 0.6)·10/(220·10³) = 100 µH

答案

Lcrit = 100 µH
3.直流电机

答案: n = 1098 rpm

直流电机：电枢是电阻 Ra 与反电动势 E 串联，所以 V = E + Ia·Ra。反电动势随转速增大，E = k·ω；转矩随电流增大，T = k·Ia；在 SI 单位制中两者的电机常数 k 相同（V·s/rad = N·m/A）。转速用 ω = 2π·n/60 换算。电磁功率为 E·Ia = T·ω；输入功率为 V·Ia，差值由铜损 Ia²Ra 和旋转损耗构成。转速随转矩呈直线下降，ω = V/k − Ra·T/k²，从空载转速 V/k 降到堵转转矩 k·V/Ra 处的零。静止时 E = 0，所以起动电流 V/Ra 很大，除非用电阻限流。

电枢电流

Ia = T/k = 10/2 = 5 A

反电动势与转速

E = 240 − 5·2 = 230 V
ω = E/k = 115 rad/s → n = 1098 rpm

答案

n = 1098 rpm
4.直流电机

答案: Pmax = 480 W

直流电机：电枢是电阻 Ra 与反电动势 E 串联，所以 V = E + Ia·Ra。反电动势随转速增大，E = k·ω；转矩随电流增大，T = k·Ia；在 SI 单位制中两者的电机常数 k 相同（V·s/rad = N·m/A）。转速用 ω = 2π·n/60 换算。电磁功率为 E·Ia = T·ω；输入功率为 V·Ia，差值由铜损 Ia²Ra 和旋转损耗构成。转速随转矩呈直线下降，ω = V/k − Ra·T/k²，从空载转速 V/k 降到堵转转矩 k·V/Ra 处的零。静止时 E = 0，所以起动电流 V/Ra 很大，除非用电阻限流。

功率与反电动势的关系

P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 24 V

最大功率

Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 48²/(4·1.2) = 480 W

答案

Pmax = 480 W

此时效率只有 50 %，所以实际电机运行时远高于半速。

5.交流功率和功率因数

答案: X = 32 Ω

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

由有功功率求电阻

R = P/I² = 216/3² = 24 Ω

由阻抗求电抗

|Z| = V/I = 120/3 = 40 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(40² − 24²) = 32 Ω

答案

X = 32 Ω
6.交流功率和功率因数

答案: QC = 28.98 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 30·tan(49.46°) = 35.07 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 30·tan(11.48°) = 6.092 kvar
QC = Q1 − Q2 = 28.98 kvar

答案

QC = 28.98 kvar
7.三相电

答案: IL = 58.67 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

电输入功率

Pin = Pout/η = 30/0.9 = 33.33 kW

线路电流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 33333/(√3·400·0.82) = 58.67 A

答案

IL = 58.67 A
8.三相电

答案: QC = 37.63 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 100·tan(acos 0.78) = 100·0.8023 = 80.23 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0.92) = 100·0.426 = 42.6 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 37.63 kvar

答案

QC = 37.63 kvar

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