弹簧与单摆
- 弹簧振子
- T = 2π·√(m/k)
- 单摆
- T = 2π·√(L/g)
- 角频率
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大速度和最大加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- 能量
- E = ½·k·A²
波与光学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 4 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
波、声与光学
- 波速
- v = fλ, T = 1/f
- 弦
- v = √(T/μ), μ = m/L
- 声级
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- 点声源
- I = P/(4πr²)
- 驻波
- 弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
- 多普勒效应
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- 折射率
- n = c/v, λ = λ0/n
- 斯涅尔定律
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- 临界角
- sin θc = n2/n1
- 光纤
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- 透镜与反射镜
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- 双缝
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- 光栅
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- 单缝
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
方法
- 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
- 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
- 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
- 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。
2练习题
1.弹簧与单摆中等
一个连在 k = 400 N/m 弹簧上的 0.3 kg 物体被沿正方向拉开 15 cm，在 t = 0 时由静止释放。 求 t = 1.15 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。
m = 0.3 kgk = 400 N/mA = 15 cmt = 1.15 s
x = cm
2.弹簧与单摆困难
一个物体做简谐振动，周期为 3.9 s，振幅为 14 cm。 它从平衡位置运动到位移 5.6 cm 处所需的最短时间 t 是多少？
T = 3.9 sA = 14 cmx = 5.6 cm
t = s
3.波、声与光学中等
频率为 440 Hz 的声源以 15 m/s 的速度朝静止的观察者运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。
f = 440 Hzv = 343 m/svs = 15 m/s
f′ = Hz
4.波、声与光学困难
一个衍射光栅每毫米有 800 条刻线。波长为 600 nm 的光垂直照射在它上面。能看到的最高级亮极大是多少级 mmax？
N = 800 mm⁻¹λ = 600 nm
mmax =
3溶液
1.弹簧与单摆
答案: x = −6.109 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
角频率
ω = √(400/0.3) = 36.51 rad/s
ω·t = 36.51·1.15 = 41.99 rad
位移
x = A·cos(ω·t) = 15·cos(41.99) = −6.109 cm
答案
x = −6.109 cm
2.弹簧与单摆
答案: t = 0.2554 s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
角频率
ω = 2π/T = 2π/3.9 = 1.611 rad/s
求解时间
0.4 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.4) = 0.4115 rad
t = 0.4115/1.611 = 0.2554 s
答案
t = 0.2554 s
3.波、声与光学
答案: f′ = 460.1 Hz
驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。
多普勒公式
f′ = f·(v + vo)/(v − vs) = 440·(343 + 0)/(343 − 15)
f′ = 460.1 Hz
答案
f′ = 460.1 Hz
4.波、声与光学
答案: mmax = 2
干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。
刻线间距
d = 1/800 mm = 1.25 µm
最高级次
m ≤ d/λ = 1.25 µm/0.6 µm = 2.083 → mmax = 2
答案
mmax = 2
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