弹簧与单摆
- 弹簧振子
- T = 2π·√(m/k)
- 单摆
- T = 2π·√(L/g)
- 角频率
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大速度和最大加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- 能量
- E = ½·k·A²
波与光学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 4 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
波、声与光学
- 波速
- v = fλ, T = 1/f
- 弦
- v = √(T/μ), μ = m/L
- 声级
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- 点声源
- I = P/(4πr²)
- 驻波
- 弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
- 多普勒效应
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- 折射率
- n = c/v, λ = λ0/n
- 斯涅尔定律
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- 临界角
- sin θc = n2/n1
- 光纤
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- 透镜与反射镜
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- 双缝
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- 光栅
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- 单缝
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
方法
- 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
- 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
- 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
- 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。
2练习题
1.弹簧与单摆中等
一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.6 m 的单摆在小幅摆动时周期为 1.6 s。求该行星上的重力加速度 g。
L = 1.6 mT = 1.6 s
g = m/s²
2.弹簧与单摆困难
一个物体做简谐振动，周期为 2.8 s，振幅为 10 cm。 它从平衡位置运动到位移 8 cm 处所需的最短时间 t 是多少？
T = 2.8 sA = 10 cmx = 8 cm
t = s
3.波、声与光学中等
频率为 300 Hz 的声源以 30 m/s 的速度远离静止的观察者运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。
f = 300 Hzv = 343 m/svs = 30 m/s
f′ = Hz
4.波、声与光学困难
两个薄透镜共轴，相距 15 cm：透镜 1 的 f₁ = 15 cm，透镜 2 的 f₂ = 5 cm。一个物体位于透镜 1 前 25 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 di2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。
f1 = 15 cmf2 = 5 cms = 15 cmdo = 25 cm
di2 = cm
3溶液
1.弹簧与单摆
答案: g = 24.67 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
求 g
g = 4π²·L/T² = 4π²·1.6/1.6² = 24.67 m/s²
答案
g = 24.67 m/s²
2.弹簧与单摆
答案: t = 0.4132 s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
角频率
ω = 2π/T = 2π/2.8 = 2.244 rad/s
求解时间
0.8 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.8) = 0.9273 rad
t = 0.9273/2.244 = 0.4132 s
答案
t = 0.4132 s
3.波、声与光学
答案: f′ = 275.9 Hz
驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。
多普勒公式
f′ = f·(v − vo)/(v + vs) = 300·(343 − 0)/(343 + 30)
f′ = 275.9 Hz
答案
f′ = 275.9 Hz
4.波、声与光学
答案: di2 = 4.091 cm
几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。
透镜 1 的像
1/di1 = 1/15 − 1/25 → di1 = 37.5 cm
透镜 2 的物
do2 = 15 − 37.5 = −22.5 cm
最终的像
1/di2 = 1/5 − 1/(−22.5) → di2 = 4.091 cm
答案
di2 = 4.091 cm
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