波与光学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 4 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 270 N/m 弹簧上的 2.9 kg 物体被沿正方向拉开 8 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.6 s 时它的速度 v（带符号）。

m = 2.9 kgk = 270 N/mA = 8 cmt = 0.6 s

v = m/s

2.弹簧与单摆困难

把一个 0.4 kg 的物体挂在一根 k = 80 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的最大速度 v_max。

m = 0.4 kgk = 80 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

3.波、声与光学中等

两端开口的管长 0.4 m。声速为 343 m/s。求其第 5 次谐波的频率 f₅。

v = 343 m/sn = 5L = 0.4 m

f₅ = Hz

4.波、声与光学困难

两个薄透镜共轴，相距 20 cm：透镜 1 的 f₁ = 15 cm，透镜 2 的 f₂ = 20 cm。一个物体位于透镜 1 前 30 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 d_i2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f₁ = 15 cmf₂ = 20 cms = 20 cmd_o = 30 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.弹簧与单摆

答案: v = 0.3659 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(270/2.9) = 9.649 rad/s

ω·t = 9.649·0.6 = 5.789 rad

速度

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.08·9.649·sin(5.789) = 0.3659 m/s

答案

v = 0.3659 m/s

2.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.6937 m/s

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 0.4·9.81/80 = 0.04905 m = A

最大速度

速度在平衡位置处最大。

ω = √(80/0.4) = 14.14 rad/s

v_max = A·ω = 0.04905·14.14 = 0.6937 m/s

答案

v_max = 0.6937 m/s

3.波、声与光学

答案: f₅ = 2144 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 2L/n = 2·0.4/5 = 0.16 m

频率

f = v/λ = 343/0.16 = 2144 Hz

答案

f₅ = 2144 Hz

4.波、声与光学

答案: d_i2 = 6.667 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

透镜 1 的像

1/d_i1 = 1/15 − 1/30 → d_i1 = 30 cm

透镜 2 的物

d_o2 = 20 − 30 = −10 cm

最终的像

1/d_i2 = 1/20 − 1/(−10) → d_i2 = 6.667 cm

答案

d_i2 = 6.667 cm

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