弹簧与单摆
- 弹簧振子
- T = 2π·√(m/k)
- 单摆
- T = 2π·√(L/g)
- 角频率
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大速度和最大加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- 能量
- E = ½·k·A²
波与光学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 4 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
波、声与光学
- 波速
- v = fλ, T = 1/f
- 弦
- v = √(T/μ), μ = m/L
- 声级
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- 点声源
- I = P/(4πr²)
- 驻波
- 弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
- 多普勒效应
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- 折射率
- n = c/v, λ = λ0/n
- 斯涅尔定律
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- 临界角
- sin θc = n2/n1
- 光纤
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- 透镜与反射镜
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- 双缝
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- 光栅
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- 单缝
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
方法
- 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
- 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
- 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
- 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。
2练习题
1.弹簧与单摆中等
要使单摆的周期为 1.8 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。
T = 1.8 sg = 9.81 m/s²
L = m
2.弹簧与单摆困难
一颗以 300 m/s 运动的 20 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 0.5 kg 木块中。木块连在一根 k = 900 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。
m = 20 gv = 300 m/sM = 0.5 kgk = 900 N/m
A = cm
3.波、声与光学中等
两端开口的管的第 3 次谐波必须为 343 Hz。声速为 343 m/s。求管长 L。
v = 343 m/sn = 3f3 = 343 Hz
L = m
4.波、声与光学困难
波长为 589 nm 的光照射到相距 0.4 mm 的两条缝上。屏距离缝 3 m。求从中央亮条纹到第 1 条亮条纹的距离 y1。
λ = 589 nmd = 0.4 mmL = 3 mm = 1
y1 = mm
3溶液
1.弹簧与单摆
答案: L = 0.8051 m
简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。
求摆长
L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.8/2π)² = 0.8051 m
答案
L = 0.8051 m
2.弹簧与单摆
答案: A = 27.74 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
撞击后的速度
V = m·v/(m + M) = 0.02·300/0.52 = 11.54 m/s
角频率
ω = √(k/(m + M)) = √(900/0.52) = 41.6 rad/s
振幅
A = V/ω = 11.54/41.6 = 0.2774 m = 27.74 cm
答案
A = 27.74 cm
3.波、声与光学
答案: L = 1.5 m
驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。
波长
λ = v/f = 343/343 = 1 m
长度
L = nλ/2 = 3·1/2 = 1.5 m
答案
L = 1.5 m
4.波、声与光学
答案: y1 = 4.417 mm
干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。
条纹间距
Δy = λL/d = 589 × 10⁻⁹·3/(0.4 × 10⁻³) = 4.417 mm
第 1 条条纹
y1 = 1·4.417 = 4.417 mm
答案
y1 = 4.417 mm
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