波与光学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 4 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.3 m 的单摆在小幅摆动时周期为 3.71 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.3 mT = 3.71 s

g = m/s²

2.弹簧与单摆困难

一颗以 350 m/s 运动的 15 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 2.5 kg 木块中。木块连在一根 k = 1800 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 15 gv = 350 m/sM = 2.5 kgk = 1800 N/m

A = cm

3.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 25 cm 的薄会聚透镜前 50 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 50 cmf = 25 cm

d_i = cm

4.波、声与光学困难

波长为 600 nm 的光照射到相距 0.1 mm 的两条缝上。屏距离缝 1.5 m。求相邻亮条纹之间的间距 Δy。

λ = 600 nmd = 0.1 mmL = 1.5 m

Δy = mm

3溶液

1.弹簧与单摆

答案: g = 3.729 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.3/3.71² = 3.729 m/s²

答案

g = 3.729 m/s²

2.弹簧与单摆

答案: A = 7.803 cm

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.015·350/2.515 = 2.087 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(1800/2.515) = 26.75 rad/s

振幅

A = V/ω = 2.087/26.75 = 0.07803 m = 7.803 cm

答案

A = 7.803 cm

3.波、声与光学

答案: d_i = 50 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/25 − 1/50

d_i = 50 cm

光线图

实像，在透镜另一侧

答案

d_i = 50 cm

4.波、声与光学

答案: Δy = 9 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 600 × 10⁻⁹·1.5/(0.1 × 10⁻³) = 9 mm

答案

Δy = 9 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics