波与光学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 4 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 0.5 m 的单摆在小幅摆动时周期为 1.33 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 0.5 mT = 1.33 s

g = m/s²

2.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 2.8 s，振幅为 15 cm。它从最大位移 15 cm 处运动到位移 6 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 2.8 sA = 15 cmx = 6 cm

t = s

3.波、声与光学中等

观察者以 15 m/s 的速度远离频率为 800 Hz 的静止声源运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 800 Hzv = 343 m/sv_o = 15 m/s

f′ = Hz

4.波、声与光学困难

波长为 633 nm 的光通过一条宽 0.12 mm 的单缝。求第 1 条暗条纹偏离直进方向的角度 θ₁。

λ = 633 nma = 0.12 mmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.弹簧与单摆

答案: g = 11.16 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0.5/1.33² = 11.16 m/s²

答案

g = 11.16 m/s²

2.弹簧与单摆

答案: t = 0.5166 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/2.8 = 2.244 rad/s

求解时间

0.4 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.4) = 1.159 rad

t = 1.159/2.244 = 0.5166 s

答案

t = 0.5166 s

3.波、声与光学

答案: f′ = 765 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 800·(343 − 15)/(343 + 0)

f′ = 765 Hz

答案

f′ = 765 Hz

4.波、声与光学

答案: θ₁ = 0.3022 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

暗条纹条件

sin θ = mλ/a = 0.005275

θ = 0.3022°

答案

θ₁ = 0.3022°

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