弹簧与单摆
- 弹簧振子
- T = 2π·√(m/k)
- 单摆
- T = 2π·√(L/g)
- 角频率
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大速度和最大加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- 能量
- E = ½·k·A²
波与光学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 4 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
波、声与光学
- 波速
- v = fλ, T = 1/f
- 弦
- v = √(T/μ), μ = m/L
- 声级
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- 点声源
- I = P/(4πr²)
- 驻波
- 弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
- 多普勒效应
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- 折射率
- n = c/v, λ = λ0/n
- 斯涅尔定律
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- 临界角
- sin θc = n2/n1
- 光纤
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- 透镜与反射镜
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- 双缝
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- 光栅
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- 单缝
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
方法
- 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
- 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
- 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
- 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。
2练习题
1.弹簧与单摆中等
一个连在 k = 220 N/m 弹簧上的 3.7 kg 物体在无摩擦表面上以 17 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 14 cm 时的速度 v。
m = 3.7 kgk = 220 N/mA = 17 cmx = 14 cm
v = m/s
2.弹簧与单摆困难
一个 0.6 kg 的物体连在 k = 50 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 6 cm 后释放。 求它的最大速度 vmax。
m = 0.6 kgk = 50 N/mA = 6 cm
vmax = m/s
3.波、声与光学中等
一个小声源向各个方向均匀发声。距它 5 m 处的声级为 60 dB。忽略吸收和反射，求 50 m 处的声级 β2。
β1 = 60 dBr1 = 5 mr2 = 50 m
β2 = dB
4.波、声与光学困难
波长为 532 nm 的光照射到相距 0.4 mm 的两条缝上。屏距离缝 1.5 m。求从中央亮条纹到第 4 条亮条纹的距离 y4。
λ = 532 nmd = 0.4 mmL = 1.5 mm = 4
y4 = mm
3溶液
1.弹簧与单摆
答案: v = 0.7436 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
角频率
ω = √(220/3.7) = 7.711 rad/s
x 处的速度
v = ω·√(A² − x²) = 7.711·√(0.17² − 0.14²) = 0.7436 m/s
答案
v = 0.7436 m/s
2.弹簧与单摆
答案: vmax = 0.5477 m/s
简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。
角频率
ω = √(50/0.6) = 9.129 rad/s
最大速度
vmax = A·ω = 0.06·9.129 = 0.5477 m/s
答案
vmax = 0.5477 m/s
3.波、声与光学
答案: β2 = 40 dB
波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。
强度比
I₂/I₁ = (5/50)² = 0.01
新的声级
β₂ = 60 + 10·log₁₀(0.01) = 40 dB
答案
β2 = 40 dB
距离每加倍一次，声级降低约 6 dB。
4.波、声与光学
答案: y4 = 7.98 mm
干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。
条纹间距
Δy = λL/d = 532 × 10⁻⁹·1.5/(0.4 × 10⁻³) = 1.995 mm
第 4 条条纹
y4 = 4·1.995 = 7.98 mm
答案
y4 = 7.98 mm
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