弹簧与单摆
- 弹簧振子
- T = 2π·√(m/k)
- 单摆
- T = 2π·√(L/g)
- 角频率
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大速度和最大加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- 能量
- E = ½·k·A²
波与光学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 4 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
波、声与光学
- 波速
- v = fλ, T = 1/f
- 弦
- v = √(T/μ), μ = m/L
- 声级
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- 点声源
- I = P/(4πr²)
- 驻波
- 弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
- 多普勒效应
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- 折射率
- n = c/v, λ = λ0/n
- 斯涅尔定律
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- 临界角
- sin θc = n2/n1
- 光纤
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- 透镜与反射镜
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- 双缝
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- 光栅
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- 单缝
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
方法
- 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
- 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
- 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
- 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。
2练习题
1.弹簧与单摆中等
一个连在 k = 240 N/m 弹簧上的 3.5 kg 物体在无摩擦表面上以 8 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 7 cm 时的速度 v。
m = 3.5 kgk = 240 N/mA = 8 cmx = 7 cm
v = m/s
2.弹簧与单摆困难
一个连在 k = 30 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 18 cm 的振幅振动。 求它距平衡位置 4 cm 时的动能 K。
k = 30 N/mA = 18 cmx = 4 cm
K = J
3.波、声与光学中等
两端固定的弦长 0.65 m；波在其上以 200 m/s 传播。求其第 4 次谐波的频率 f4。
v = 200 m/sn = 4L = 0.65 m
f4 = Hz
4.波、声与光学困难
波长为 450 nm 的光通过一条宽 0.2 mm 的单缝。求 3 m 外的屏上中央亮极大的宽度 w（即两侧第一暗条纹之间）。
λ = 450 nma = 0.2 mmL = 3 m
w = mm
3溶液
1.弹簧与单摆
答案: v = 0.3207 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
角频率
ω = √(240/3.5) = 8.281 rad/s
x 处的速度
v = ω·√(A² − x²) = 8.281·√(0.08² − 0.07²) = 0.3207 m/s
答案
v = 0.3207 m/s
2.弹簧与单摆
答案: K = 0.462 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
总能量
E = ½·k·A² = ½·30·0.18² = 0.486 J
x 处的弹簧能量
U = ½·k·x² = ½·30·0.04² = 0.024 J
动能
K = 0.486 − 0.024 = 0.462 J
答案
K = 0.462 J
3.波、声与光学
答案: f4 = 615.4 Hz
驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。
该模式的波长
λ = 2L/n = 2·0.65/4 = 0.325 m
频率
f = v/λ = 200/0.325 = 615.4 Hz
答案
f4 = 615.4 Hz
4.波、声与光学
答案: w = 13.5 mm
干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。
第一暗条纹
y₁ = λL/a = 450 × 10⁻⁹·3/(0.2 × 10⁻³) = 6.75 mm
中央极大的宽度
w = 2y₁ = 13.5 mm
答案
w = 13.5 mm
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