波与光学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 4 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 350 N/m 弹簧上的 2.6 kg 物体在无摩擦表面上以 9 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 4 cm 时的速度 v。

m = 2.6 kgk = 350 N/mA = 9 cmx = 4 cm

v = m/s

2.弹簧与单摆困难

一个 2.4 kg 的物体连在 k = 190 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 13 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 2.4 kgk = 190 N/mA = 13 cm

E = J

3.波、声与光学中等

一个小声源向各个方向均匀发声。距它 2 m 处的声级为 80 dB。忽略吸收和反射，求 20 m 处的声级 β₂。

β₁ = 80 dBr₁ = 2 mr₂ = 20 m

β₂ = dB

4.波、声与光学困难

一根光纤的纤芯 n₁ = 1.5，包层 n₂ = 1.48。求它的数值孔径 NA。

n₁ = 1.5n₂ = 1.48

NA =

3溶液

1.弹簧与单摆

答案: v = 0.9354 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(350/2.6) = 11.6 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 11.6·√(0.09² − 0.04²) = 0.9354 m/s

答案

v = 0.9354 m/s

2.弹簧与单摆

答案: E = 1.605 J

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(190/2.4) = 8.898 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·190·0.13² = 1.605 J

答案

E = 1.605 J

3.波、声与光学

答案: β₂ = 60 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

强度比

I₂/I₁ = (2/20)² = 0.01

新的声级

β₂ = 80 + 10·log₁₀(0.01) = 60 dB

答案

β₂ = 60 dB

距离每加倍一次，声级降低约 6 dB。

4.波、声与光学

答案: NA = 0.2441

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

包层处的临界角

sin θc = 1.48/1.5 = 0.9867 → θc = 80.63°

数值孔径

NA = √(1.5² − 1.48²) = 0.2441

答案

NA = 0.2441

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