弹簧与单摆
- 弹簧振子
- T = 2π·√(m/k)
- 单摆
- T = 2π·√(L/g)
- 角频率
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大速度和最大加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- 能量
- E = ½·k·A²
波与光学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 4 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
波、声与光学
- 波速
- v = fλ, T = 1/f
- 弦
- v = √(T/μ), μ = m/L
- 声级
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- 点声源
- I = P/(4πr²)
- 驻波
- 弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
- 多普勒效应
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- 折射率
- n = c/v, λ = λ0/n
- 斯涅尔定律
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- 临界角
- sin θc = n2/n1
- 光纤
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- 透镜与反射镜
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- 双缝
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- 光栅
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- 单缝
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
方法
- 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
- 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
- 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
- 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。
2练习题
1.弹簧与单摆中等
一个连在 k = 470 N/m 弹簧上的 2.6 kg 物体在无摩擦表面上以 9 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 8 cm 时的速度 v。
m = 2.6 kgk = 470 N/mA = 9 cmx = 8 cm
v = m/s
2.弹簧与单摆困难
把一个 2.2 kg 的物体挂在一根 k = 230 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。 求弹簧的最大伸长量 xmax，以 cm 表示。
m = 2.2 kgk = 230 N/mg = 9.81 m/s²
xmax = cm
3.波、声与光学中等
一个小扬声器向各个方向均匀辐射 0.5 W 的声功率。求 20 m 处的声强级 β。
P = 0.5 Wr = 20 mI0 = 10⁻¹² W/m²
β = dB
4.波、声与光学困难
一根光纤的纤芯 n₁ = 1.5，包层 n₂ = 1.45。求从空气射入光纤端面且仍能通过全反射被导引的光线与光纤轴所成的最大角 θa。
n1 = 1.5n2 = 1.45n0 = 1.00
θa = °
3溶液
1.弹簧与单摆
答案: v = 0.5544 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
角频率
ω = √(470/2.6) = 13.45 rad/s
x 处的速度
v = ω·√(A² − x²) = 13.45·√(0.09² − 0.08²) = 0.5544 m/s
答案
v = 0.5544 m/s
2.弹簧与单摆
答案: xmax = 18.77 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
平衡位置和振幅
x₀ = m·g/k = 2.2·9.81/230 = 0.09383 m = A
最低点
xmax = 2A = 0.1877 m = 18.77 cm
答案
xmax = 18.77 cm
3.波、声与光学
答案: β = 79.98 dB
波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。
声强
I = P/(4πr²) = 9.947 × 10⁻⁵ W/m²
难度
β = 10·log₁₀(9.947 × 10⁻⁵/10⁻¹²) = 79.98 dB
答案
β = 79.98 dB
4.波、声与光学
答案: θa = 22.59 °
几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。
包层处的临界角
sin θc = 1.45/1.5 = 0.9667 → θc = 75.16°
数值孔径
NA = √(1.5² − 1.45²) = 0.3841
接收角
θa = arcsin(0.3841) = 22.59°
答案
θa = 22.59°
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