波与光学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 4 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.5 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.5 sg = 9.81 m/s²

L = m

2.弹簧与单摆困难

把一个 2.8 kg 的物体挂在一根 k = 190 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求弹簧的最大伸长量 x_max，以 cm 表示。

m = 2.8 kgk = 190 N/mg = 9.81 m/s²

x_max = cm

3.波、声与光学中等

一个小声源向各个方向均匀发声。距它 2 m 处的声级为 85 dB。忽略吸收和反射，求 8 m 处的声级 β₂。

β₁ = 85 dBr₁ = 2 mr₂ = 8 m

β₂ = dB

4.波、声与光学困难

一个物体位于曲率半径为 40 cm 的凹面镜前 6 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

d_o = 6 cmR = 40 cm

m =

3溶液

1.弹簧与单摆

答案: L = 1.553 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.5/2π)² = 1.553 m

答案

L = 1.553 m

2.弹簧与单摆

答案: x_max = 28.91 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 2.8·9.81/190 = 0.1446 m = A

最低点

x_max = 2A = 0.2891 m = 28.91 cm

答案

x_max = 28.91 cm

3.波、声与光学

答案: β₂ = 72.96 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

强度比

I₂/I₁ = (2/8)² = 0.0625

新的声级

β₂ = 85 + 10·log₁₀(0.0625) = 72.96 dB

答案

β₂ = 72.96 dB

距离每加倍一次，声级降低约 6 dB。

4.波、声与光学

答案: m = 1.429

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

焦距

f = R/2 = 20 cm

镜面方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/20 − 1/6

d_i = −8.571 cm

放大率

m = −(−8.571)/6 = 1.429

答案

m = 1.429

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