波与光学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 4 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

弹簧与单摆

弹簧振子
T = 2π·√(m/k)
单摆
T = 2π·√(L/g)
角频率
ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度
vmax = A·ω, amax = A·ω²
能量
E = ½·k·A²

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.弹簧与单摆中等
0.7 kgk = 160 N/mA = 16 cmx = 3 cm

一个连在 k = 160 N/m 弹簧上的 0.7 kg 物体在无摩擦表面上以 16 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 3 cm 时的速度 v。

m = 0.7 kgk = 160 N/mA = 16 cmx = 3 cm
v = m/s
2.弹簧与单摆困难
0.3 kgk = 400 N/mA = 3 cm

一个 0.3 kg 的物体连在 k = 400 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 3 cm 后释放。 求它的最大速度 vmax。

m = 0.3 kgk = 400 N/mA = 3 cm
vmax = m/s
3.波、声与光学中等
40°90°n1​ = ?空气, n2​ = 1.00

对于入射角大于 40° 的每一个角度，透明块内的光在与空气（n = 1.00）的界面上都发生全反射。求该透明块的折射率 n1。

θc = 40°n2 = 1.00
n1 =
4.波、声与光学困难
λ = 450 nmθ

一个衍射光栅每毫米有 800 条刻线。波长为 450 nm 的光垂直照射在它上面。能看到的最高级亮极大是多少级 mmax？

N = 800 mm⁻¹λ = 450 nm
mmax =

3溶液

1.弹簧与单摆

答案: v = 2.376 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(160/0.7) = 15.12 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 15.12·√(0.16² − 0.03²) = 2.376 m/s

答案

v = 2.376 m/s
2.弹簧与单摆

答案: vmax = 1.095 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(400/0.3) = 36.51 rad/s

最大速度

vmax = A·ω = 0.03·36.51 = 1.095 m/s

答案

vmax = 1.095 m/s
3.波、声与光学

答案: n1 = 1.556

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

透明块的折射率

n₁ = n₂/sin θc = 1.00/0.6428 = 1.556

答案

n1 = 1.556
4.波、声与光学

答案: mmax = 2

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/800 mm = 1.25 µm

最高级次

m ≤ d/λ = 1.25 µm/0.45 µm = 2.778 → mmax = 2

答案

mmax = 2

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